想請問一下諸如下面舉例有關階梯函數(高斯函數)的問題有沒有什麼處理技巧: ----------------------------------------------------------- 令 f(x)為floor function 則 f( (f(4x)/2) + k/2 ) = f( 2x + k/2 ), for any x€R, k€Z ----------------------------------------------------------- 目前我是用二進位展開定理去逐一驗證等式, 但是這個展開會需要分case: (1) x>=0 (2) x<0 而在case(1)中又繼續分是唯一展開式還是有兩種展開式(例如1 = 0.11111111...) 而在case(2)中還要更加處理well-defined的問題, 因為signed extension會讓展開式 有無窮多個可能, 不過只要證明"存在"展開式就可以解決原題了 原題不需要展開式的唯一/二性 以上這些是我證明原題的方式, 但是覺得要嚴格寫好麻煩... 才想說有沒有一些分析上不等式的運作就能證明原題? 也就是說利用f(x)的特性: f(x)是唯一的整數滿足 f(x) <= x < f(x) + 1 最後我會說原題只是一種"舉例"是因為我在工作上遇到蠻多這種數學形式 而到底會不會造成"誤差", 以有理數(就不會有無窮多個小數)來說多半可以 腦袋模擬一下二進制表示法就可以得到答案 但是對於所有實數而言會不會對, 我寫不出分析式的不等式推導... 就是光想像是對的, 但是要證明就只能依賴二進制展開定理去分case討論, 好麻煩 才想問問有沒有好方法 謝謝幫忙~ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1645889884.A.48E.html 嗨L大, 這樣確實可以不用討論負實數了! 只是後續依然是用正數的二進制展開來證明嗎? ------------------------------------------- <update> 確實只要用不等式就可以解決了, 原題可以化簡成下列型式: f(f(x)/n) = f(x/n) for any n€N and x€R pf: (MI) 把x寫成n進制 (MII) 由f(x/n) <= x/n < f(x/n) + 1去做操作立得結果 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 02/27/2022 16:07:06