作者OSGrup (open將真的很可愛)
看板Math
標題[微積] 積分問題
時間Thu Feb 24 18:52:16 2022
題目:設f(x)是[a,b]的非負可積分函數，
b
若有∫f(x)dx=0，試證明對任給ε>0，存在子區間[α,β]包含在[a,b]，
a
使得f(x)<ε，α≦x≦β
proof: 假設 存在ε>0，且存在子區間[α,β]包含在[a,b]使得f(x)>ε，α≦x≦β
∵f(x)>ε，α≦x≦β
β β
∴∫f(x)dx>∫εdx=ε(β-α)
α α
∵f(x)≧0，對所有x屬於[a,b]
b α β b
∴ ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx ≧ε(β-α)>0 (矛盾)
a a α β
證明完畢。
我沒有很肯定我的寫法有沒有錯誤，請大家指教，謝謝
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1F：推 zhanguihan : your proof is wrong due to the wrong contradicti 02/24 19:07
2F：→ zhanguihan : ve statement of conclusion in your asumption. 02/24 19:07
3F：推 zhanguihan : and there is an counterexample as follows: let f 02/24 19:22
4F：→ zhanguihan : be defined on the unit closed interval and be o 02/24 19:22
5F：→ zhanguihan : ne at the rational number and zero others. 02/24 19:22
6F：推 kilva : 樓上的例子是勒貝格可積，但黎曼不可積 02/24 19:31
7F：推 arrenwu : 我想一樓的意思是他反證法用的假設有問題吧 02/24 23:52
8F：推 arrenwu : 她這個函數的可積分是定義在什麼積分上啊？ 02/24 23:55
9F：→ arrenwu : Lebesgue ? Riemann ? 02/24 23:55
10F：→ OSGrup : 這邊內容是黎曼可積分，謝謝各位 02/25 10:44