作者OSGrup (open将真的很可爱)
看板Math
标题[微积] 积分问题
时间Thu Feb 24 18:52:16 2022
题目:设f(x)是[a,b]的非负可积分函数，
b
若有∫f(x)dx=0，试证明对任给ε>0，存在子区间[α,β]包含在[a,b]，
a
使得f(x)<ε，α≦x≦β
proof: 假设 存在ε>0，且存在子区间[α,β]包含在[a,b]使得f(x)>ε，α≦x≦β
∵f(x)>ε，α≦x≦β
β β
∴∫f(x)dx>∫εdx=ε(β-α)
α α
∵f(x)≧0，对所有x属於[a,b]
b α β b
∴ ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx ≧ε(β-α)>0 (矛盾)
a a α β
证明完毕。
我没有很肯定我的写法有没有错误，请大家指教，谢谢
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1F：推 zhanguihan : your proof is wrong due to the wrong contradicti 02/24 19:07
2F：→ zhanguihan : ve statement of conclusion in your asumption. 02/24 19:07
3F：推 zhanguihan : and there is an counterexample as follows: let f 02/24 19:22
4F：→ zhanguihan : be defined on the unit closed interval and be o 02/24 19:22
5F：→ zhanguihan : ne at the rational number and zero others. 02/24 19:22
6F：推 kilva : 楼上的例子是勒贝格可积，但黎曼不可积 02/24 19:31
7F：推 arrenwu : 我想一楼的意思是他反证法用的假设有问题吧 02/24 23:52
8F：推 arrenwu : 她这个函数的可积分是定义在什麽积分上啊？ 02/24 23:55
9F：→ arrenwu : Lebesgue ? Riemann ? 02/24 23:55
10F：→ OSGrup : 这边内容是黎曼可积分，谢谢各位 02/25 10:44