作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] 實數的選擇公設與良序原則矛盾?
時間Fri Jan 21 00:54:31 2022
今天又再看一些公設的陳述發現一個怪怪的矛盾...
1. 採用ZF公設1~8定義出正整數N→整數Z→有理數Q→實數R
2. wiki說在採用ZF公設1~8的情形下,
選擇公設等價於良序原則--(●)
以上兩者皆成立的話, 就有個奇怪的推論:
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假設R中有選擇公設, 那R就有良序原則
但是R沒有良序原則(例如開區間沒有最小元素), 所以R中沒有選擇公設
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這也太奇怪了吧...因為在造R中非可測集合時確實用到了選擇公設
目前猜測其實沒有矛盾, 原因在於
(●)的"序"並非是R中定義的序
也就是說, 假設R中有選擇公設的情況下, 會
存在某個序讓R滿足良序原則
但是今天我們R中常用的那個序, 並沒有滿足良序原則, 自然不能推得選擇公設
但是
以上兩點沒有矛盾
是我誤會了什麼還是我已經回答自己的問題了@@?
謝謝解惑!
--
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1F：→ recorriendo : 你已經自己回答了 每個集合都能找到一個良序就夠01/21 01:42
2F：→ recorriendo : 了01/21 01:42
我剛剛閱讀等價的證明過程後, 有件事我好像誤會大了...
即便我們證明存在一個relation讓R是well-ordered, 也
不能夠推得R有選擇函數
因為其等價性是基於下面陳述:
1.所有集合都well-ordered
2.所有集合都有選擇函數
則1.2.等價
並非是下面兩個等價:
3. X是一個well-ordered的集合
4. X是一個有選擇函數的集合
順帶一提的是, 3.雖然不能推得4., 但是
卻可以推得:
5. X的任意非空子集所形成的集合F都具有選擇函數(選擇公設成立)
也就是說, 在上面alan大問的是否存在X的子集X'使得裡面的等價類都是互斥的, 即X'的
存在性, 是可以由X的well-ordered推出的, 但是
X本身不一定具有選擇函數
再請r大解惑了 謝謝!
3F：→ recorriendo : 依稀記得4.的構造一般都會去討論到transitive clo01/21 11:37
4F：→ recorriendo : sure 不過我也沒很熟 感覺也用不太到 大部分情況有01/21 11:37
5F：→ recorriendo : 用的是P(X)裡的choice (這應該是你5.的意思?)01/21 11:37
我自己去跑3.跟4., 兩邊的方向都無法推得耶
舉例當3.成立時, 你要用3.的性質時就變成要討論P(X)才用的到
就像你說是我5.的意思
而這也是為什麼
1.<=>2.其實是要"所有集合"才會等價
WIKI是證明: (1) 任何集合都well-ordering => 任何集合都有選擇函數
(2) 任何集合都有Zorn's lemma => 任何集合都well-ordering
(默認Zorn's lemma等價於選擇公設)
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只是我說"我誤會大了"以及想釐清的事情是:
令X為一個集合, [‧]為在X上的一個等價類
則有 X = ∪_{x€X} [x]
再來就是alan大之前問的
"是否存在X的子集X'"使得:
(a) X = ∪_{x€X'} [x]
(b) for any x!=y€X', [x]∩[y] = φ
一直以來我都是口說一句
"因為選擇公設，所以成立"
但是昨天去仔細研究發現
"到底是針對誰假設有選擇函數", 突然覺得不妙XD
是X還是F:={[x]€P(X)│x€X}
加上後來又問了這篇問題, 又發現好像誤用了"3.等價於4."(根本不成立)
總歸起來, 我想確定下面陳述以及關係圖是正確的:
(A) 若X是well-ordering也不能推得X有選擇函數(即3.不能推4.)
(B) 若X有選擇公設也
不能推得存在那樣的子集X'
(C) 若X是well-ordering則
能推得存在那樣的子集X'
畫成關係圖就是:
所有集合都well-ordering <=> 所有集合都有選擇函數
∥ ∥
Ｖ Ｖ
X是well-ordering <===錯===> X有選擇函數
∥ ∥
Ｖ ∥
存在那樣的X' <======錯=========, (這個錯算是我長久以來的誤會吧XD)
6F：推 ERT312 : "所有集合都有選擇公設"是何意?01/21 13:36
7F：→ ERT312 : AC是一種斷言，要嘛承認它，要嘛否定它01/21 13:37
8F：→ ERT312 : 它又不是一種性質 可以X具有它 Y不具有它01/21 13:37
9F：→ ERT312 : 或是能不能翻成英文 中文看不太懂01/21 13:38
我微調了敘述了, 之前說的"集合X有選擇公設"是想表達"X有選擇函數"
而套用wiki中ZF公設的第9公設來說的話:
(i) well-ordering theorem(axiom): 所有集合都是well-ordering
(ii) axiom of choice: 所有集合都有選擇函數
不過這些微調不影響我想問的, 再請你參考一下 謝謝!
10F：推 ERT312 : 從"所有集合都有選擇函數"(AC)來看，你採用的01/21 15:42
11F：→ ERT312 : 選擇函數的定義應該與Pinter的相同(與wiki的不同)01/21 15:43
12F：→ ERT312 : 那由3證明4不是很簡單嗎 為什麼不能證01/21 15:43
我是按照WIKI的定義:
(一) X是well-ordering := 存在一個在X上的relation R, 使得對於所有X的子集S
裡面均有一個最小元素m
(二) X有選擇函數:= 存在f: X→∪_{x€X} x, 使得f(x)€x
會發現根本證不了
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.112.12 臺灣), 01/21/2022 17:22:58
13F：推 ERT312 : 按上面的定義，AC就不能說:所有集合都有選擇函數01/21 18:05
14F：→ ERT312 : 至少像{1,2,{}}就沒有選擇函數01/21 18:06
15F：→ ERT312 : 我給你 Pinter 對選擇函數的定義01/21 18:07
17F：→ ERT312 : 用 Pinter 的定義,AC:每個集合(包括空集)都有選擇函01/21 18:09
19F：→ ERT312 : 我建議你找本書看比較有系統，網路上的東西查起來01/21 18:11
20F：→ ERT312 : 很快，但有時候連名詞定義都沒有統一，初學很容易被01/21 18:12
21F：→ ERT312 : 混淆，而且網路上錯誤的東西也比書多01/21 18:12
用E大你這本書的定義確實直接讓我的關係圖簡單多了...
所以是wiki的定義定錯還是我誤會他的意思了...對照Pinter的話, wiki在ZF公設9講到選
擇公設時, 其X應該要是P(X)-{空集合}才對
另外我上網找資料主要確實是因為快, 不過我也不會一味相信所以會把他的定義與推論都
梳理一遍看有沒有怪怪的(所以才來問這個XDD)
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.186.89 臺灣), 01/21/2022 18:32:41
22F：推 ERT312 : wiki的定義也不能說錯 (不過X裡面不能有空集)01/21 19:19
23F：→ ERT312 : 只是AC要改成這樣01/21 19:20
24F：→ ERT312 : Any collection of nonempty sets has a choice fu-01/21 19:20
25F：→ ERT312 : nction.01/21 19:20
嗯嗯, 所以他前後的X其實就是我說的"對所有集合", 並非是同一個X, 所以我才會寫出1.
<=>2.
不過採取pinter的定義確實輕鬆明確多了
※ 編輯: znmkhxrw (223.140.117.109 臺灣), 01/22/2022 00:00:50