作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 实数的选择公设与良序原则矛盾?
时间Fri Jan 21 00:54:31 2022
今天又再看一些公设的陈述发现一个怪怪的矛盾...
1. 采用ZF公设1~8定义出正整数N→整数Z→有理数Q→实数R
2. wiki说在采用ZF公设1~8的情形下,
选择公设等价於良序原则--(●)
以上两者皆成立的话, 就有个奇怪的推论:
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假设R中有选择公设, 那R就有良序原则
但是R没有良序原则(例如开区间没有最小元素), 所以R中没有选择公设
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这也太奇怪了吧...因为在造R中非可测集合时确实用到了选择公设
目前猜测其实没有矛盾, 原因在於
(●)的"序"并非是R中定义的序
也就是说, 假设R中有选择公设的情况下, 会
存在某个序让R满足良序原则
但是今天我们R中常用的那个序, 并没有满足良序原则, 自然不能推得选择公设
但是
以上两点没有矛盾
是我误会了什麽还是我已经回答自己的问题了@@?
谢谢解惑!
--
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1F：→ recorriendo : 你已经自己回答了 每个集合都能找到一个良序就够01/21 01:42
2F：→ recorriendo : 了01/21 01:42
我刚刚阅读等价的证明过程後, 有件事我好像误会大了...
即便我们证明存在一个relation让R是well-ordered, 也
不能够推得R有选择函数
因为其等价性是基於下面陈述:
1.所有集合都well-ordered
2.所有集合都有选择函数
则1.2.等价
并非是下面两个等价:
3. X是一个well-ordered的集合
4. X是一个有选择函数的集合
顺带一提的是, 3.虽然不能推得4., 但是
却可以推得:
5. X的任意非空子集所形成的集合F都具有选择函数(选择公设成立)
也就是说, 在上面alan大问的是否存在X的子集X'使得里面的等价类都是互斥的, 即X'的
存在性, 是可以由X的well-ordered推出的, 但是
X本身不一定具有选择函数
再请r大解惑了 谢谢!
3F：→ recorriendo : 依稀记得4.的构造一般都会去讨论到transitive clo01/21 11:37
4F：→ recorriendo : sure 不过我也没很熟 感觉也用不太到 大部分情况有01/21 11:37
5F：→ recorriendo : 用的是P(X)里的choice (这应该是你5.的意思?)01/21 11:37
我自己去跑3.跟4., 两边的方向都无法推得耶
举例当3.成立时, 你要用3.的性质时就变成要讨论P(X)才用的到
就像你说是我5.的意思
而这也是为什麽
1.<=>2.其实是要"所有集合"才会等价
WIKI是证明: (1) 任何集合都well-ordering => 任何集合都有选择函数
(2) 任何集合都有Zorn's lemma => 任何集合都well-ordering
(默认Zorn's lemma等价於选择公设)
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只是我说"我误会大了"以及想厘清的事情是:
令X为一个集合, [‧]为在X上的一个等价类
则有 X = ∪_{x€X} [x]
再来就是alan大之前问的
"是否存在X的子集X'"使得:
(a) X = ∪_{x€X'} [x]
(b) for any x!=y€X', [x]∩[y] = φ
一直以来我都是口说一句
"因为选择公设，所以成立"
但是昨天去仔细研究发现
"到底是针对谁假设有选择函数", 突然觉得不妙XD
是X还是F:={[x]€P(X)│x€X}
加上後来又问了这篇问题, 又发现好像误用了"3.等价於4."(根本不成立)
总归起来, 我想确定下面陈述以及关系图是正确的:
(A) 若X是well-ordering也不能推得X有选择函数(即3.不能推4.)
(B) 若X有选择公设也
不能推得存在那样的子集X'
(C) 若X是well-ordering则
能推得存在那样的子集X'
画成关系图就是:
所有集合都well-ordering <=> 所有集合都有选择函数
∥ ∥
Ｖ Ｖ
X是well-ordering <===错===> X有选择函数
∥ ∥
Ｖ ∥
存在那样的X' <======错=========, (这个错算是我长久以来的误会吧XD)
6F：推 ERT312 : "所有集合都有选择公设"是何意?01/21 13:36
7F：→ ERT312 : AC是一种断言，要嘛承认它，要嘛否定它01/21 13:37
8F：→ ERT312 : 它又不是一种性质 可以X具有它 Y不具有它01/21 13:37
9F：→ ERT312 : 或是能不能翻成英文 中文看不太懂01/21 13:38
我微调了叙述了, 之前说的"集合X有选择公设"是想表达"X有选择函数"
而套用wiki中ZF公设的第9公设来说的话:
(i) well-ordering theorem(axiom): 所有集合都是well-ordering
(ii) axiom of choice: 所有集合都有选择函数
不过这些微调不影响我想问的, 再请你参考一下 谢谢!
10F：推 ERT312 : 从"所有集合都有选择函数"(AC)来看，你采用的01/21 15:42
11F：→ ERT312 : 选择函数的定义应该与Pinter的相同(与wiki的不同)01/21 15:43
12F：→ ERT312 : 那由3证明4不是很简单吗 为什麽不能证01/21 15:43
我是按照WIKI的定义:
(一) X是well-ordering := 存在一个在X上的relation R, 使得对於所有X的子集S
里面均有一个最小元素m
(二) X有选择函数:= 存在f: X→∪_{x€X} x, 使得f(x)€x
会发现根本证不了
※ 编辑: znmkhxrw (61.231.112.12 台湾), 01/21/2022 17:22:58
13F：推 ERT312 : 按上面的定义，AC就不能说:所有集合都有选择函数01/21 18:05
14F：→ ERT312 : 至少像{1,2,{}}就没有选择函数01/21 18:06
15F：→ ERT312 : 我给你 Pinter 对选择函数的定义01/21 18:07
17F：→ ERT312 : 用 Pinter 的定义,AC:每个集合(包括空集)都有选择函01/21 18:09
19F：→ ERT312 : 我建议你找本书看比较有系统，网路上的东西查起来01/21 18:11
20F：→ ERT312 : 很快，但有时候连名词定义都没有统一，初学很容易被01/21 18:12
21F：→ ERT312 : 混淆，而且网路上错误的东西也比书多01/21 18:12
用E大你这本书的定义确实直接让我的关系图简单多了...
所以是wiki的定义定错还是我误会他的意思了...对照Pinter的话, wiki在ZF公设9讲到选
择公设时, 其X应该要是P(X)-{空集合}才对
另外我上网找资料主要确实是因为快, 不过我也不会一味相信所以会把他的定义与推论都
梳理一遍看有没有怪怪的(所以才来问这个XDD)
※ 编辑: znmkhxrw (114.137.186.89 台湾), 01/21/2022 18:32:41
22F：推 ERT312 : wiki的定义也不能说错 (不过X里面不能有空集)01/21 19:19
23F：→ ERT312 : 只是AC要改成这样01/21 19:20
24F：→ ERT312 : Any collection of nonempty sets has a choice fu-01/21 19:20
25F：→ ERT312 : nction.01/21 19:20
嗯嗯, 所以他前後的X其实就是我说的"对所有集合", 并非是同一个X, 所以我才会写出1.
<=>2.
不过采取pinter的定义确实轻松明确多了
※ 编辑: znmkhxrw (223.140.117.109 台湾), 01/22/2022 00:00:50