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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.105.54.161 (臺灣) : ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1641311400.A.DB4.html : 推 Vulpix : 推深入淺出介紹Fourier！ 01/05 00:59 : 推 znmkhxrw : 謝謝L大詳細的介紹, 很舒服! 另外你文末說的"留做 01/05 01:22 : → znmkhxrw : 習題"是什麼意思呢? 是指咱i以用inversion來用好算 01/05 01:22 : 推 znmkhxrw : 之前思考時遇到一個問題是, L2的FT是迂迴定義法, IF 01/05 01:25 : → znmkhxrw : T是在證明FT是雙射後才定義出IFT是其反函數, 所以如 01/05 01:25 : → znmkhxrw : 果今天你採用迂迴定義法去定義IFT的話, 那還需要去 01/05 01:25 : → znmkhxrw : 證明這兩種IFT是相等的 01/05 01:25 : 推 znmkhxrw : 所以你說的留做習題是指要先證明這兩種IFT是一樣的 01/05 01:27 : → znmkhxrw : 才能用好算的一邊去推得不好算的一邊嗎 01/05 01:27 : → znmkhxrw : P.S. 推文第1,2行有少資料, 幫略過 01/05 01:28 : : 之所以留成習題是因為這邊其實一些沒那麼直接的事情... : : 譬如說IFT，基本上IFT的定法和FT一樣，只是i換成-i，所以也是可以照相同步驟延拓定義 : 而只有在L^2、S、S'上IFT和FT能互為反變換(定義域和對應域相同) : : 互為反變換，也就是IFT{FT{f}}=f這件事，嚴謹的話就要花點力氣證 : (注意到i和-i的對稱性，所以FT{IFT{g}}=g同理) : : 但據我所知，F：L^2→L^2是雙射，尤其是滿射應該證明上述反變換關係才能得到吧。 : (單射還可以用保距性) : 所以應該沒有先用雙射造出一種IFT，積分+迂迴定出另一種，再來證明相等。 : : 其他像在Step 4裡面 : delta function的變換雖然簡單，但反過來計算1的變換，卻相當於IFT反變換關係 : 其實也很合理 : distribution -> function 這個方向比較好算(畢竟算出來是一個好好的函數) : 反過來要算出distribution就比較麻煩，幸好有反變換幫忙。 : : 不過，也不是總有一邊好算，譬如Dirac comb的變換還是Dirac comb， : 兩邊都一樣難(應該說兩邊根本一樣)。這和Possion summation formula有關。 : : 對於distribution的情形，能不能把工數常見計算手法依照這篇的邏輯架構嚴謹說明 : 就是我想的習題。 : : 推 alan23273850: 這篇好猛 大大也可以學我寫書 01/05 09:37 : 推 HeterCompute: 邏輯脈絡好清楚! 01/05 18:09 : ※ 編輯: LimSinE (219.85.157.150 臺灣), 01/06/2022 23:24:59 : 推 znmkhxrw : 謝謝L大的回覆, 我是看Zygmund第二版的第13章的 01/06 23:53 : → znmkhxrw : 他通篇都沒提到"反傅立葉轉換"的定義, 只有定義 01/06 23:53 : → znmkhxrw : 傅立葉變換的反函數, 即你符號的F跟F^-1 01/06 23:54 : → znmkhxrw : 而他確實有證明F:L^2→L^2是雙射 01/06 23:54 : → znmkhxrw : 而如果照L大你說的流程, FT跟IFT都是用迂迴定義法 01/06 23:55 : → znmkhxrw : 去定義的話, 那就有FT:L^2→L^2, IFT:L^2→L^2都是 01/06 23:55 : → znmkhxrw : 雙射, 只是我不知道怎麼證明FT^-1 = IFT 01/06 23:56 : → znmkhxrw : 還是你的意思是, 我參考他怎麼證"雙射"的步驟就能 01/06 23:56 : → znmkhxrw : 解決我的疑惑? 01/06 23:56 : 推 Vulpix : 抓一個dense subset出來直接算，然後by continuity 01/07 00:17 : → Vulpix : ？是說，這問題不就是上面的「花點力氣證」嗎？ 01/07 00:17 : 推 znmkhxrw : V大你說L大的"花點力氣證"的部分確實就是我想證的 01/07 01:43 : → znmkhxrw : 但是L大下面接著說「F：L^2→L^2是雙射，尤其是滿射 01/07 01:44 : → znmkhxrw : 應該證明上述反變換關係才能得到吧。」 01/07 01:45 : → znmkhxrw : 我把這句話翻譯成「F 是onto 要用FT^-1 = IFT證」 01/07 01:47 : → znmkhxrw : 所以我才會覺得奇怪(我敘述的FT都是L大的F) 01/07 01:48 : → znmkhxrw : 因為Zygmund證FT雙射時通篇沒有定義IFT 01/07 01:49 : → znmkhxrw : 所以我才問「證FT雙射的技巧 等價於 FT^-1 = IFT」 01/07 01:49 : 推 znmkhxrw : ^是否 01/07 01:51 : 推 Vulpix : Zygmund的證明是13.51，中間用了F(x)=FT[f](-x)， 01/07 04:05 : → Vulpix : 先不管後面繞路的事，這就是IFT啊。(把i換成-i) 01/07 04:06 : 推 Vulpix : 雖然可以利用單射先造一個值域上的IFT然後努力延拓 01/07 04:17 : → Vulpix : ，但我不認為這樣比較方便。 01/07 04:22 整理一下我的想法, 結合跟L大與V大討論"反傅立葉轉換 = 常數 * 傅立葉轉換的反函數" 《定義與符號》(以R^1舉例) FT1 {f}(x) := f€L^1上的傅立葉轉換, ∫_{x€R} f(t)*e^(-2πi*t*x) dt IFT1{f}(x) := f€L^1上的反傅立葉轉換,∫_{x€R} f(t)*e^( 2πi*t*x) dt FT2 {f}(x) := f€L^2上的傅立葉轉換, L大文中的迂迴定義法, 藉由L^1∩L^2在L^2 的稠密性, 挑L^1∩L^2中收斂到f的函數列f_n, by Zygmund lemma 13.50 使得FT1在L^1∩L^2是均勻連續(w.r.t L^2 norm)的, 得到FT1{f_n}是 科西列, 最後藉由L^2的完備性以及均勻連續唯一決定科西列的極限值 定義出FT2{f}(x) IFT2{f}(x) := f€L^2上的反傅立葉轉換, L大文中的迂迴定義法, 藉由L^1∩L^2在L^2 的稠密性, 挑L^1∩L^2中收斂到f的函數列f_n, by Zygmund lemma 13.50 使得IFT1在L^1∩L^2是均勻連續(w.r.t L^2 norm)的, 得到IFT1{f_n}是 科西列, 最後藉由L^2的完備性以及均勻連續唯一決定科西列的極限值 定義出IFT2{f}(x) 《想證明》 FT2的反函數等於IFT2乘以某個常數 即反傅立葉轉換與傅立葉轉換的反函數只差一個常數c pf: 引用V大說的Zygmund頁數, 我們有FT2{c*FT2{f}(-t)}(x) = f(x) 因此得到 c*FT2{f}(-x) = FT2^-1{f}(x) 接著只要證明FT2{f}(-x) = IFT2{f}(x)即得證 回顧FT2{f}(x)的定義, 任選一串在L^1∩L^2的函數列f_n收斂到f 所以我們有 FT1{f_n}(x) → FT2{f}(x) in L^2 sense 當然就有 FT1{f_n}(-x) → FT2{f}(-x) 對IFT1做一次, 也有 IFT1{f_n}(x) → IFT2{f}(x) in L^2 sense 然後因為f_n€L^1, 所以我們有 FT1{f_n}(-x) = IFT1{f_n}(x) 因此結合: (1) FT1{f_n}(-x) → FT2{f}(-x) (2) IFT1{f_n}(x) → IFT2{f}(x) (3) FT1{f_n}(-x) = IFT1{f_n}(x) 我們就有FT2{f}(-x) = IFT2{f}(x), 得證 《小結》 這樣的走法跟L大與V大說的應該就是一致的: (1) 我想證的東西其實就是Zygmund在證"L^2傅立葉轉換是onto"時的小結果 (2) 像V大說的, 仍是需要從L^1∩L^2去逼近我要的結果 這樣看起來沒什麼問題...吧XD --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1641502525.A.C97.html ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 01/07/2022 04:59:43