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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 27.105.54.161 (台湾) : ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1641311400.A.DB4.html : 推 Vulpix : 推深入浅出介绍Fourier！ 01/05 00:59 : 推 znmkhxrw : 谢谢L大详细的介绍, 很舒服! 另外你文末说的"留做 01/05 01:22 : → znmkhxrw : 习题"是什麽意思呢? 是指咱i以用inversion来用好算 01/05 01:22 : 推 znmkhxrw : 之前思考时遇到一个问题是, L2的FT是迂回定义法, IF 01/05 01:25 : → znmkhxrw : T是在证明FT是双射後才定义出IFT是其反函数, 所以如 01/05 01:25 : → znmkhxrw : 果今天你采用迂回定义法去定义IFT的话, 那还需要去 01/05 01:25 : → znmkhxrw : 证明这两种IFT是相等的 01/05 01:25 : 推 znmkhxrw : 所以你说的留做习题是指要先证明这两种IFT是一样的 01/05 01:27 : → znmkhxrw : 才能用好算的一边去推得不好算的一边吗 01/05 01:27 : → znmkhxrw : P.S. 推文第1,2行有少资料, 帮略过 01/05 01:28 : : 之所以留成习题是因为这边其实一些没那麽直接的事情... : : 譬如说IFT，基本上IFT的定法和FT一样，只是i换成-i，所以也是可以照相同步骤延拓定义 : 而只有在L^2、S、S'上IFT和FT能互为反变换(定义域和对应域相同) : : 互为反变换，也就是IFT{FT{f}}=f这件事，严谨的话就要花点力气证 : (注意到i和-i的对称性，所以FT{IFT{g}}=g同理) : : 但据我所知，F：L^2→L^2是双射，尤其是满射应该证明上述反变换关系才能得到吧。 : (单射还可以用保距性) : 所以应该没有先用双射造出一种IFT，积分+迂回定出另一种，再来证明相等。 : : 其他像在Step 4里面 : delta function的变换虽然简单，但反过来计算1的变换，却相当於IFT反变换关系 : 其实也很合理 : distribution -> function 这个方向比较好算(毕竟算出来是一个好好的函数) : 反过来要算出distribution就比较麻烦，幸好有反变换帮忙。 : : 不过，也不是总有一边好算，譬如Dirac comb的变换还是Dirac comb， : 两边都一样难(应该说两边根本一样)。这和Possion summation formula有关。 : : 对於distribution的情形，能不能把工数常见计算手法依照这篇的逻辑架构严谨说明 : 就是我想的习题。 : : 推 alan23273850: 这篇好猛 大大也可以学我写书 01/05 09:37 : 推 HeterCompute: 逻辑脉络好清楚! 01/05 18:09 : ※ 编辑: LimSinE (219.85.157.150 台湾), 01/06/2022 23:24:59 : 推 znmkhxrw : 谢谢L大的回覆, 我是看Zygmund第二版的第13章的 01/06 23:53 : → znmkhxrw : 他通篇都没提到"反傅立叶转换"的定义, 只有定义 01/06 23:53 : → znmkhxrw : 傅立叶变换的反函数, 即你符号的F跟F^-1 01/06 23:54 : → znmkhxrw : 而他确实有证明F:L^2→L^2是双射 01/06 23:54 : → znmkhxrw : 而如果照L大你说的流程, FT跟IFT都是用迂回定义法 01/06 23:55 : → znmkhxrw : 去定义的话, 那就有FT:L^2→L^2, IFT:L^2→L^2都是 01/06 23:55 : → znmkhxrw : 双射, 只是我不知道怎麽证明FT^-1 = IFT 01/06 23:56 : → znmkhxrw : 还是你的意思是, 我参考他怎麽证"双射"的步骤就能 01/06 23:56 : → znmkhxrw : 解决我的疑惑? 01/06 23:56 : 推 Vulpix : 抓一个dense subset出来直接算，然後by continuity 01/07 00:17 : → Vulpix : ？是说，这问题不就是上面的「花点力气证」吗？ 01/07 00:17 : 推 znmkhxrw : V大你说L大的"花点力气证"的部分确实就是我想证的 01/07 01:43 : → znmkhxrw : 但是L大下面接着说「F：L^2→L^2是双射，尤其是满射 01/07 01:44 : → znmkhxrw : 应该证明上述反变换关系才能得到吧。」 01/07 01:45 : → znmkhxrw : 我把这句话翻译成「F 是onto 要用FT^-1 = IFT证」 01/07 01:47 : → znmkhxrw : 所以我才会觉得奇怪(我叙述的FT都是L大的F) 01/07 01:48 : → znmkhxrw : 因为Zygmund证FT双射时通篇没有定义IFT 01/07 01:49 : → znmkhxrw : 所以我才问「证FT双射的技巧 等价於 FT^-1 = IFT」 01/07 01:49 : 推 znmkhxrw : ^是否 01/07 01:51 : 推 Vulpix : Zygmund的证明是13.51，中间用了F(x)=FT[f](-x)， 01/07 04:05 : → Vulpix : 先不管後面绕路的事，这就是IFT啊。(把i换成-i) 01/07 04:06 : 推 Vulpix : 虽然可以利用单射先造一个值域上的IFT然後努力延拓 01/07 04:17 : → Vulpix : ，但我不认为这样比较方便。 01/07 04:22 整理一下我的想法, 结合跟L大与V大讨论"反傅立叶转换 = 常数 * 傅立叶转换的反函数" 《定义与符号》(以R^1举例) FT1 {f}(x) := f€L^1上的傅立叶转换, ∫_{x€R} f(t)*e^(-2πi*t*x) dt IFT1{f}(x) := f€L^1上的反傅立叶转换,∫_{x€R} f(t)*e^( 2πi*t*x) dt FT2 {f}(x) := f€L^2上的傅立叶转换, L大文中的迂回定义法, 藉由L^1∩L^2在L^2 的稠密性, 挑L^1∩L^2中收敛到f的函数列f_n, by Zygmund lemma 13.50 使得FT1在L^1∩L^2是均匀连续(w.r.t L^2 norm)的, 得到FT1{f_n}是 科西列, 最後藉由L^2的完备性以及均匀连续唯一决定科西列的极限值 定义出FT2{f}(x) IFT2{f}(x) := f€L^2上的反傅立叶转换, L大文中的迂回定义法, 藉由L^1∩L^2在L^2 的稠密性, 挑L^1∩L^2中收敛到f的函数列f_n, by Zygmund lemma 13.50 使得IFT1在L^1∩L^2是均匀连续(w.r.t L^2 norm)的, 得到IFT1{f_n}是 科西列, 最後藉由L^2的完备性以及均匀连续唯一决定科西列的极限值 定义出IFT2{f}(x) 《想证明》 FT2的反函数等於IFT2乘以某个常数 即反傅立叶转换与傅立叶转换的反函数只差一个常数c pf: 引用V大说的Zygmund页数, 我们有FT2{c*FT2{f}(-t)}(x) = f(x) 因此得到 c*FT2{f}(-x) = FT2^-1{f}(x) 接着只要证明FT2{f}(-x) = IFT2{f}(x)即得证 回顾FT2{f}(x)的定义, 任选一串在L^1∩L^2的函数列f_n收敛到f 所以我们有 FT1{f_n}(x) → FT2{f}(x) in L^2 sense 当然就有 FT1{f_n}(-x) → FT2{f}(-x) 对IFT1做一次, 也有 IFT1{f_n}(x) → IFT2{f}(x) in L^2 sense 然後因为f_n€L^1, 所以我们有 FT1{f_n}(-x) = IFT1{f_n}(x) 因此结合: (1) FT1{f_n}(-x) → FT2{f}(-x) (2) IFT1{f_n}(x) → IFT2{f}(x) (3) FT1{f_n}(-x) = IFT1{f_n}(x) 我们就有FT2{f}(-x) = IFT2{f}(x), 得证 《小结》 这样的走法跟L大与V大说的应该就是一致的: (1) 我想证的东西其实就是Zygmund在证"L^2傅立叶转换是onto"时的小结果 (2) 像V大说的, 仍是需要从L^1∩L^2去逼近我要的结果 这样看起来没什麽问题...吧XD --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1641502525.A.C97.html ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 01/07/2022 04:59:43