作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [微積] 三重積分求體積
時間Fri Jan 7 01:32:29 2022
※ 引述《mathYU (迷途羔羊)》之銘言：
: https://i.imgur.com/c1TRTUl.jpg
: 小弟我不知道積分的上下界範圍怎麼求
:
直接用球坐標好算一點。
其他常用坐標（直角坐標和柱坐標）都要分段算，
其實這也不意外，因為看起來有些坐標就是有兩種下限，
例如 x 就要在 √(4-y^2-z^2) 以上，也要在 √(y^2+z^2-1) 以上。
但是球坐標剛好可以避開這個問題。
以 x 軸為軸建立球坐標。
那三個變數的上下限分別是：
向徑（半徑）：2 ~ 3，這從第一個不等式可以看出來。
緯度：0.5*arccos(4/r^2) ~ 0.5*arccos(1/r^2)，來自第二個不等式。
經度：一圈，常用 0 ~ 2π。
至於 x≧0，在緯度那邊已經用掉了。
最後積分都滿快的，質量是 15π/4。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1641490351.A.11D.html
1F：推 mathYU : 想問緯度（r分量）的範圍是怎麼求的 01/07 01:53
緯度是θ（我經度慣用φ）。
我先把坐標變換寫完整：
x = r * cosθ
y = r * sinθ * cosφ
z = r * sinθ * sinφ
然後第二個不等式就變成 1≦r^2 * (cos^2 θ - sin^2 θ)≦4，
也就是 1/r^2≦cos2θ≦4/r^2。
然後因為 x≧0，所以 0≦2θ≦π，才得到 cos 遞減。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/07/2022 02:52:40
2F：推 mathYU : 了解了，謝謝 01/07 12:27
4F：推 mathYU : 上面是我寫的過程，我的θ上下界有寫錯嗎，你上面說 01/07 13:39
對，寫錯了。
5F：→ mathYU : 0≦2θ≦π但是這樣第二個不等式條件就沒用到了 01/07 13:41
cos2θ 遞減，所以 arccos(4/r^2)≦2θ≦arccos(1/r^2)。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/07/2022 15:01:34
6F：推 mathYU : 我把積分順序調換之後算出15pi/4了，感謝! 01/07 15:37