作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [微积] 三重积分求体积
时间Fri Jan 7 01:32:29 2022
※ 引述《mathYU (迷途羔羊)》之铭言：
: https://i.imgur.com/c1TRTUl.jpg
: 小弟我不知道积分的上下界范围怎麽求
:
直接用球坐标好算一点。
其他常用坐标（直角坐标和柱坐标）都要分段算，
其实这也不意外，因为看起来有些坐标就是有两种下限，
例如 x 就要在 √(4-y^2-z^2) 以上，也要在 √(y^2+z^2-1) 以上。
但是球坐标刚好可以避开这个问题。
以 x 轴为轴建立球坐标。
那三个变数的上下限分别是：
向径（半径）：2 ~ 3，这从第一个不等式可以看出来。
纬度：0.5*arccos(4/r^2) ~ 0.5*arccos(1/r^2)，来自第二个不等式。
经度：一圈，常用 0 ~ 2π。
至於 x≧0，在纬度那边已经用掉了。
最後积分都满快的，质量是 15π/4。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾)
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1F：推 mathYU : 想问纬度（r分量）的范围是怎麽求的 01/07 01:53
纬度是θ（我经度惯用φ）。
我先把坐标变换写完整：
x = r * cosθ
y = r * sinθ * cosφ
z = r * sinθ * sinφ
然後第二个不等式就变成 1≦r^2 * (cos^2 θ - sin^2 θ)≦4，
也就是 1/r^2≦cos2θ≦4/r^2。
然後因为 x≧0，所以 0≦2θ≦π，才得到 cos 递减。
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/07/2022 02:52:40
2F：推 mathYU : 了解了，谢谢 01/07 12:27
4F：推 mathYU : 上面是我写的过程，我的θ上下界有写错吗，你上面说 01/07 13:39
对，写错了。
5F：→ mathYU : 0≦2θ≦π但是这样第二个不等式条件就没用到了 01/07 13:41
cos2θ 递减，所以 arccos(4/r^2)≦2θ≦arccos(1/r^2)。
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/07/2022 15:01:34
6F：推 mathYU : 我把积分顺序调换之後算出15pi/4了，感谢! 01/07 15:37