想請問一下下面這件事是否恆成立: -------------------------------------- 【Guess】 給定一個L^2函數f(t), t€R 定義f_M(t) := f(t) , t€[-M,M] 0 , else 如果: (1) f_M(t)€L^1 for all M>0 (2) lim_{M→∞} F{f_M}(x) = g(x) a.e. x€R , where F{f_M}(x) is the Fourier transform of f_M 則 F{f}(x) = g(x) a.e. x€R -------------------------------------- 會有這個問題是因為, sinc(t)的傅立葉轉換是rect(x)很容易藉由sinc(t)的瑕積分得到 但是剛剛對sinc(t)詳細跑一次L^2函數的傅立葉轉換嚴格定義時, 發現好像沒那麼簡單 以f(t) := sinc(t) & g(x) = rect(x) 來說, 確實符合上面的(1)跟(2) 但是按照L^2傅立葉轉換的定義, 必須還要證明: (A) f_M(t)€L^1∩L^2 ... 這個trivial (B) F{f_M}(x) → g(x) in L^2 sense 也就是說, (2)只有逐點sense, 並非L^2 sense 而我沒印象有任何通論是有關"逐點收斂則L^p收斂"... 所以是【Guess】恆對, 只是要證明而已 還是說不一定, 只是sinc(t)剛好符合而已 而不管哪個結論, 再請版友提供證明方向, 謝謝! ========================================================= Update:跟朋友討論後, 【Guess】是對的, 證明如下 1. 證明 f_M→f in L^2 2. 藉由 https://imgur.com/cw3l5Ye 得知F{f_M}→h in L^2, for some h€L^2 3. 承2., 因為conv in L^2, 所以conv in measure, 所以存在子列f_M_k 使得 F{f_M_k}(x)→h(x) a.e. in pointwise sense 4. 因為原條件告訴我們 F{f_M}(x)→g(x), 所以h(x) = g(x) a.e. 目前算是解決了, 只是直覺上覺得有點" 繞 " 因為從以前到現在看到很多關於" F{sinc} = rect "的證明都只是計算瑕積分收斂而已 而這個逐點收斂函數確實其傅立葉變換卻沒有多加著墨 所以我才猜說應該有trivial的看法, 不然不會大家都算完瑕積分就結束了... 還是說1.~4.是trivial... --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1641060182.A.A5E.html R大意思是: ---------- 若f_n, f€L^1∩L^2, 且f_n→f in L^2 則F{f_n} → F{f} in L^2 ---------- 這樣嗎? 可是我看不出這個能證出【Guess】耶 況且f也不是L^1 能再說詳細一點嗎, 謝謝! 確實F在L^2 1-1, onto的話可以這麼做, 但是仍好奇【Guess】是否是對的, 還是sinc只 是特例而已 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 01/02/2022 21:51:25 1. 工數應該沒有正式定義L^2的傅立業轉換吧XDD 2. 原來Stein有討論這一塊 我再去參考看看 3. 主要是想知道我從以前都沒看過有人在討論這個問題是因為: (1) 有trivial的證法, 但是我卻拿核彈炸螞蟻 (2) 文末的解法1.~4.是trivial (3) 不trivial所以忽略 目前看起來應該是(3) 謝謝c大的討論~ ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 01/04/2022 22:01:40