想请问一下下面这件事是否恒成立: -------------------------------------- 【Guess】 给定一个L^2函数f(t), t€R 定义f_M(t) := f(t) , t€[-M,M] 0 , else 如果: (1) f_M(t)€L^1 for all M>0 (2) lim_{M→∞} F{f_M}(x) = g(x) a.e. x€R , where F{f_M}(x) is the Fourier transform of f_M 则 F{f}(x) = g(x) a.e. x€R -------------------------------------- 会有这个问题是因为, sinc(t)的傅立叶转换是rect(x)很容易藉由sinc(t)的瑕积分得到 但是刚刚对sinc(t)详细跑一次L^2函数的傅立叶转换严格定义时, 发现好像没那麽简单 以f(t) := sinc(t) & g(x) = rect(x) 来说, 确实符合上面的(1)跟(2) 但是按照L^2傅立叶转换的定义, 必须还要证明: (A) f_M(t)€L^1∩L^2 ... 这个trivial (B) F{f_M}(x) → g(x) in L^2 sense 也就是说, (2)只有逐点sense, 并非L^2 sense 而我没印象有任何通论是有关"逐点收敛则L^p收敛"... 所以是【Guess】恒对, 只是要证明而已 还是说不一定, 只是sinc(t)刚好符合而已 而不管哪个结论, 再请版友提供证明方向, 谢谢! ========================================================= Update:跟朋友讨论後, 【Guess】是对的, 证明如下 1. 证明 f_M→f in L^2 2. 藉由 https://imgur.com/cw3l5Ye 得知F{f_M}→h in L^2, for some h€L^2 3. 承2., 因为conv in L^2, 所以conv in measure, 所以存在子列f_M_k 使得 F{f_M_k}(x)→h(x) a.e. in pointwise sense 4. 因为原条件告诉我们 F{f_M}(x)→g(x), 所以h(x) = g(x) a.e. 目前算是解决了, 只是直觉上觉得有点" 绕 " 因为从以前到现在看到很多关於" F{sinc} = rect "的证明都只是计算瑕积分收敛而已 而这个逐点收敛函数确实其傅立叶变换却没有多加着墨 所以我才猜说应该有trivial的看法, 不然不会大家都算完瑕积分就结束了... 还是说1.~4.是trivial... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1641060182.A.A5E.html R大意思是: ---------- 若f_n, f€L^1∩L^2, 且f_n→f in L^2 则F{f_n} → F{f} in L^2 ---------- 这样吗? 可是我看不出这个能证出【Guess】耶 况且f也不是L^1 能再说详细一点吗, 谢谢! 确实F在L^2 1-1, onto的话可以这麽做, 但是仍好奇【Guess】是否是对的, 还是sinc只 是特例而已 ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 01/02/2022 21:51:25 1. 工数应该没有正式定义L^2的傅立业转换吧XDD 2. 原来Stein有讨论这一块 我再去参考看看 3. 主要是想知道我从以前都没看过有人在讨论这个问题是因为: (1) 有trivial的证法, 但是我却拿核弹炸蚂蚁 (2) 文末的解法1.~4.是trivial (3) 不trivial所以忽略 目前看起来应该是(3) 谢谢c大的讨论~ ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 01/04/2022 22:01:40