作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題Re: [分析] 同軌跡與起終點的Jordan曲線是等價(Solved)
時間Sun Dec 19 12:56:17 2021
嗨L大, 我發現一個怪怪的地方再請你說明一下, 推文難回我就回文了
※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 切2段做不出來的話，就切3段~~
: 固定a<x<y<b，記f(a)=f(b)=P, f(x)=Q, f(y)=R
: 取u,v使得g(u)=Q, g(v)=R, 同時已知 g(c)=g(d)=P，不失一般性可設c<u<v<d
: 又記緊緻連通集 f([a,x])=A, f([x,y])=B, f([y,b])=C
: 則A交B={Q}、B交C={R}、C交A={P}
: 考慮連通集X = g((c,u)) 則 X交A、X交B、X交C兩兩不相交，且聯集=X
: 故其中1個為X，其餘2個為空集合。
: 因P,Q in g([c,u]) in closure of X，3種可能中只可能是X <= A，g([c,u])<=A
: 由f,g兩者之對稱性A<=g([c,u])，從而A=g([c,u])
: 同理 B=g([u,v])、C=g([v,d])
: 這樣就可以安全地對A、B、C分開使用Thm 1.，再兜起來就可以了。
"考慮連通集X = g((c,u)) 則 X交A、X交B、X交C兩兩不相交，且聯集=X
故其中1個為X，其餘2個為空集合。" 這句話依賴的定理是?
我原本以為是:(手機打字, v表示聯集)
若A=BvCvD 且A,B,C,D都連通, 而且B, C, D兩兩交集為空
則A=one of B, C, D且另外兩個為空
但是證不出來這個定理, 發現有反例, 比如A=[0,1], B=[0,1), C={1}, D=empty
而這個定理要成立的話除非:
(1) 加入B, C, D都是compact的條件確保確實能造出open set分開他們
(2) 加入B, C, D都是open的條件直接分開A
但是這裡的那三個集合並非都是open或是都是compact
是你仰賴其他的定理嗎??
謝謝!
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