作者harry921129 (哈利~~)
看板Math
標題[線代] 線性獨立的問題
時間Tue Dec 14 12:31:38 2021
x' y' z' u' 是全都不為零的整數
(a1,a2,a3,a4) (b1,b2,b3,b4) (c1,c2,c3,c4)
是兩兩相異的非零的整數向量
且 a1x'+a2y'+a3z'+a4u'=0
b1x'+b2y'+b3z'+b4u'=0
c1x'+c2y'+c3z'+c4u'=0
試問 (a1,a2,a3,a4) (b1,b2,b3,b4) (c1,c2,c3,c4) 此三個向量線性獨立嗎?
如果是要如何證明呢 thx~~~
### 這不是甚麼書本上或考試的題目 是我解題目時所突發奇想的
三個向量(1,0,3,-3) (-2,1,1,-1) (-3,0,2,-1) 對於x=3 y=7, z=10, u=11
都有 1*3+0*7+3*10-3*11=0
-2*3+1*7+1*10-1*11=0
-3*3+0*7+2*10-1*11=0
則此三個向量剛好線性獨立 我想要知道是否有上述條件的向量都會線性獨立?
### 剛有一些想法 但是不確定(或許不太對)
a1 a2 a3 a4 x' 0
[ b1 b2 b3 b4 ] [ y'] =[0]
c1 c2 c3 c4 z' 0
u' 0
因為x' y' z' u' 是全都不為零的整數
所以利用消去法 可得知此矩陣 rank=3 (這裡我就不確定 不知對不對)
利用矩陣A rank(A^T)=rank(A)=3
所以
a1 b1 c1
A^T = [a2 b2 c2] 此矩陣rank=3 所以此三向量線性獨立
a3 b3 c3
a4 b4 c4
不知對不對 有無反例嗎?
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1F：推 a547808588 : 你wiki線性獨立，看例子3 ，就有說怎麼做了 12/14 14:11
2F：推 sunev : 題目有誤？ 12/14 18:30
※ 編輯: harry921129 (122.118.145.230 臺灣), 12/14/2021 21:11:50
※ 編輯: harry921129 (122.118.145.230 臺灣), 12/14/2021 21:29:47
3F：推 LPH66 : 你的條件相當於 a b c 三向量皆與 (x',y',z',u') 12/14 23:43
4F：→ LPH66 : 內積為 0, 由此你容易能找到一組不線性獨立的三向量 12/14 23:45
5F：推 LPH66 : 你的後一個問題是把變數弄反了, 你的變數是 a b c 12/14 23:48
6F：→ LPH66 : x y z u 是已知數, 因此你不能套用它們是變數的結論 12/14 23:48
7F：→ LPH66 : 另外你也用錯東西了: 你式子右邊是零向量 12/15 00:00
8F：→ LPH66 : 那個比較像是在討論 kernel 和 nullity 的式子 12/15 00:01
9F：→ LPH66 : 和 rank 正好是互相反過來的東西 12/15 00:02