作者harry921129 (哈利~~)
看板Math
标题[线代] 线性独立的问题
时间Tue Dec 14 12:31:38 2021
x' y' z' u' 是全都不为零的整数
(a1,a2,a3,a4) (b1,b2,b3,b4) (c1,c2,c3,c4)
是两两相异的非零的整数向量
且 a1x'+a2y'+a3z'+a4u'=0
b1x'+b2y'+b3z'+b4u'=0
c1x'+c2y'+c3z'+c4u'=0
试问 (a1,a2,a3,a4) (b1,b2,b3,b4) (c1,c2,c3,c4) 此三个向量线性独立吗?
如果是要如何证明呢 thx~~~
### 这不是甚麽书本上或考试的题目 是我解题目时所突发奇想的
三个向量(1,0,3,-3) (-2,1,1,-1) (-3,0,2,-1) 对於x=3 y=7, z=10, u=11
都有 1*3+0*7+3*10-3*11=0
-2*3+1*7+1*10-1*11=0
-3*3+0*7+2*10-1*11=0
则此三个向量刚好线性独立 我想要知道是否有上述条件的向量都会线性独立?
### 刚有一些想法 但是不确定(或许不太对)
a1 a2 a3 a4 x' 0
[ b1 b2 b3 b4 ] [ y'] =[0]
c1 c2 c3 c4 z' 0
u' 0
因为x' y' z' u' 是全都不为零的整数
所以利用消去法 可得知此矩阵 rank=3 (这里我就不确定 不知对不对)
利用矩阵A rank(A^T)=rank(A)=3
所以
a1 b1 c1
A^T = [a2 b2 c2] 此矩阵rank=3 所以此三向量线性独立
a3 b3 c3
a4 b4 c4
不知对不对 有无反例吗?
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1F：推 a547808588 : 你wiki线性独立，看例子3 ，就有说怎麽做了 12/14 14:11
2F：推 sunev : 题目有误？ 12/14 18:30
※ 编辑: harry921129 (122.118.145.230 台湾), 12/14/2021 21:11:50
※ 编辑: harry921129 (122.118.145.230 台湾), 12/14/2021 21:29:47
3F：推 LPH66 : 你的条件相当於 a b c 三向量皆与 (x',y',z',u') 12/14 23:43
4F：→ LPH66 : 内积为 0, 由此你容易能找到一组不线性独立的三向量 12/14 23:45
5F：推 LPH66 : 你的後一个问题是把变数弄反了, 你的变数是 a b c 12/14 23:48
6F：→ LPH66 : x y z u 是已知数, 因此你不能套用它们是变数的结论 12/14 23:48
7F：→ LPH66 : 另外你也用错东西了: 你式子右边是零向量 12/15 00:00
8F：→ LPH66 : 那个比较像是在讨论 kernel 和 nullity 的式子 12/15 00:01
9F：→ LPH66 : 和 rank 正好是互相反过来的东西 12/15 00:02