※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言： : 標題: [分析] 為什麼 dy/dt = dy/dx * dx/dt 並不嚴謹? : 時間: Sun Dec 5 15:27:31 2021 : : 如題，小弟這學期正在研讀 Rudin 這本書，Theorem 5.5 正好是初微講過的 chain rule : : 我深知它的證明手法大概都是層層剝開，然後每一層都是藉由 "該變數趨近於目標值所以 : : 殘餘項趨近於零" 的這個現象來說明該層導數剛好就是那個位置的微分值，只是按照這個 : : 說法，那我附圖 https://imgur.com/fDhSMpN 中的最後一行，也就是去模擬 dy/dt = : : dy/dx * dx/dt 這個寫法的這件事應該也沒錯啊，那為什麼會有人說這種看起來可以通分 : : 的寫法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 這種符號不可以用在這裡，還是說我附圖 chain rule在這裡被質疑的nonsense是寫成通分形式時第一項的分母可能為0, 至於你說的"dv這種符號不可以用在這裡"我就不太了解是指什麼意思 通常會說"d?"怪怪的通常是在積分的變數變換中, f'(x)dx = df(x) 不過這裡原PO應該不是指這裡怪, 就當我沒提XD : : 最底下式子的寫法也不甚嚴謹呢？如果是，又是不嚴謹在哪呢？ : : 先謝謝各位先進解惑了！ : 你圖中最下面的寫法的不嚴謹處, 除了可能第一項分母可能為0之外, 還有第一項的極限符號 "lim f(t)→f(x)", 極限並沒有這個定義, 但是我想你是要表達 "當t→x時且f在x連續則f(t)→f(x)", 但即便如此, lim_{t→x} (g(f(t)) - g(f(x)))/(f(t) - f(x)) = g'(f(x)) 仍是需要證明的(先假設分母不會為0), 總之就看你對"嚴謹"的要求到哪 再來就是如何處理分母可能為0的問題, 到現在我一共知道三種方式: (1) 直接討論法: 如果存在x的一個開區間使得f(t)都不等於f(x) 那藉由極限論證只要取夠小的δ那就能讓原PO的通分式是make sense的 如果不存在這樣的一個開區間, 代表有無窮多個t_i靠近x, t_i!=x 使得f(t_i) = f(x) 如此一來你可以先證明f'(x)=0以及(g。f)'(x) = 0 之後你就可以說(g。f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x) (因為不管g'(f(x))是多少, 左右都0了) P.S. 這個還有個小瑕疵是尚須"g。f在x可微" 原PO有興趣在自己解掉吧 (2) Rudin/Apostol法: 就原PO那樣定義微分函數就可以搬來搬去 而且不難驗證跟平常的微分定義等價 (3) 多變數導數定義: |F(x+h) - F(x) - T(h)| < ε|h| for all 0<|h|<δ_1 <=> |F(x+h) - F(x) - T(h)| <= ε|h| for all |h|<δ_2 也是跟平常的微分定義等價 不管哪一種方式其實都是要嚴格處理分母可能為0的這種trivial case 像(3)那樣定義後h就可以為0了, 而h為0實在是很無聊的trivial case... 最後借串問, 我好奇Rudin/Apostol會想到那種定義方式, 純粹就是用平常的定義方式 會三不五時卡到分母為0嗎@@? 不知道歷史XDD : -- :

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.238.70 (臺灣) : ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1638689253.A.196.html : 推 cmrafsts : 你這個case的問題是f(t)-f(x)可能是0 12/05 16:04 : 推 Vulpix : 而且可能一直是0或常常是0。 12/05 18:07 : → alan23273850: 原來如此！那我原本以為課本 u(t) 和 v(s) 趨近於 12/05 19:47 : → alan23273850: 0 就隱含不能等於 0 的假設就錯誤了呢，這樣的話課 12/05 19:47 : → alan23273850: 本記號是不是應該也要修正一下？所以除此之外還有 12/05 19:47 : → alan23273850: 其他理由嗎？我可能考慮替樓上兩位發錢喔！ 12/05 19:47 : → TaiwanFight : 笑死 12/05 20:03 --

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