※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之铭言： : 标题: [分析] 为什麽 dy/dt = dy/dx * dx/dt 并不严谨? : 时间: Sun Dec 5 15:27:31 2021 : : 如题，小弟这学期正在研读 Rudin 这本书，Theorem 5.5 正好是初微讲过的 chain rule : : 我深知它的证明手法大概都是层层剥开，然後每一层都是藉由 "该变数趋近於目标值所以 : : 残余项趋近於零" 的这个现象来说明该层导数刚好就是那个位置的微分值，只是按照这个 : : 说法，那我附图 https://imgur.com/fDhSMpN 中的最後一行，也就是去模拟 dy/dt = : : dy/dx * dx/dt 这个写法的这件事应该也没错啊，那为什麽会有人说这种看起来可以通分 : : 的写法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 这种符号不可以用在这里，还是说我附图 chain rule在这里被质疑的nonsense是写成通分形式时第一项的分母可能为0, 至於你说的"dv这种符号不可以用在这里"我就不太了解是指什麽意思 通常会说"d?"怪怪的通常是在积分的变数变换中, f'(x)dx = df(x) 不过这里原PO应该不是指这里怪, 就当我没提XD : : 最底下式子的写法也不甚严谨呢？如果是，又是不严谨在哪呢？ : : 先谢谢各位先进解惑了！ : 你图中最下面的写法的不严谨处, 除了可能第一项分母可能为0之外, 还有第一项的极限符号 "lim f(t)→f(x)", 极限并没有这个定义, 但是我想你是要表达 "当t→x时且f在x连续则f(t)→f(x)", 但即便如此, lim_{t→x} (g(f(t)) - g(f(x)))/(f(t) - f(x)) = g'(f(x)) 仍是需要证明的(先假设分母不会为0), 总之就看你对"严谨"的要求到哪 再来就是如何处理分母可能为0的问题, 到现在我一共知道三种方式: (1) 直接讨论法: 如果存在x的一个开区间使得f(t)都不等於f(x) 那藉由极限论证只要取够小的δ那就能让原PO的通分式是make sense的 如果不存在这样的一个开区间, 代表有无穷多个t_i靠近x, t_i!=x 使得f(t_i) = f(x) 如此一来你可以先证明f'(x)=0以及(g。f)'(x) = 0 之後你就可以说(g。f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x) (因为不管g'(f(x))是多少, 左右都0了) P.S. 这个还有个小瑕疵是尚须"g。f在x可微" 原PO有兴趣在自己解掉吧 (2) Rudin/Apostol法: 就原PO那样定义微分函数就可以搬来搬去 而且不难验证跟平常的微分定义等价 (3) 多变数导数定义: |F(x+h) - F(x) - T(h)| < ε|h| for all 0<|h|<δ_1 <=> |F(x+h) - F(x) - T(h)| <= ε|h| for all |h|<δ_2 也是跟平常的微分定义等价 不管哪一种方式其实都是要严格处理分母可能为0的这种trivial case 像(3)那样定义後h就可以为0了, 而h为0实在是很无聊的trivial case... 最後借串问, 我好奇Rudin/Apostol会想到那种定义方式, 纯粹就是用平常的定义方式 会三不五时卡到分母为0吗@@? 不知道历史XDD : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.242.238.70 (台湾) : ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1638689253.A.196.html : 推 cmrafsts : 你这个case的问题是f(t)-f(x)可能是0 12/05 16:04 : 推 Vulpix : 而且可能一直是0或常常是0。 12/05 18:07 : → alan23273850: 原来如此！那我原本以为课本 u(t) 和 v(s) 趋近於 12/05 19:47 : → alan23273850: 0 就隐含不能等於 0 的假设就错误了呢，这样的话课 12/05 19:47 : → alan23273850: 本记号是不是应该也要修正一下？所以除此之外还有 12/05 19:47 : → alan23273850: 其他理由吗？我可能考虑替楼上两位发钱喔！ 12/05 19:47 : → TaiwanFight : 笑死 12/05 20:03 --

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