作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
標題[分析] 為什麼 dy/dt = dy/dx * dx/dt 並不嚴謹?
時間Sun Dec 5 15:27:31 2021
如題，小弟這學期正在研讀 Rudin 這本書，Theorem 5.5 正好是初微講過的 chain rule
我深知它的證明手法大概都是層層剝開，然後每一層都是藉由 "該變數趨近於目標值所以
殘餘項趨近於零" 的這個現象來說明該層導數剛好就是那個位置的微分值，只是按照這個
說法，那我附圖
https://imgur.com/fDhSMpN 中的最後一行，也就是去模擬 dy/dt =
dy/dx * dx/dt 這個寫法的這件事應該也沒錯啊，那為什麼會有人說這種看起來可以通分
的寫法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 這種符號不可以用在這裡，還是說我附圖
最底下式子的寫法也不甚嚴謹呢？如果是，又是不嚴謹在哪呢？
先謝謝各位先進解惑了！
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1F：推 cmrafsts : 你這個case的問題是f(t)-f(x)可能是0 12/05 16:04
2F：推 Vulpix : 而且可能一直是0或常常是0。 12/05 18:07
3F：→ alan23273850: 原來如此！那我原本以為課本 u(t) 和 v(s) 趨近於 12/05 19:47
4F：→ alan23273850: 0 就隱含不能等於 0 的假設就錯誤了呢，這樣的話課 12/05 19:47
5F：→ alan23273850: 本記號是不是應該也要修正一下？所以除此之外還有 12/05 19:47
6F：→ alan23273850: 其他理由嗎？我可能考慮替樓上兩位發錢喔！ 12/05 19:47
7F：→ TaiwanFight : 笑死 12/05 20:03
8F：→ alan23273850: 我會有這樣的誤解很合理啊！一般說 x 趨近於 c 都 12/05 21:00
9F：→ alan23273850: 會強調 x 不能剛好為 c，所以我會認為誤差項不能恰 12/05 21:00
10F：→ alan23273850: 好是零也是理所當然的 12/05 21:00
11F：→ alan23273850: 怎麼可以嘲笑認真上進的同學呢？這不是數學板應該 12/05 21:01
12F：→ alan23273850: 要有的風氣吧！ 12/05 21:01
13F：推 Vulpix : 你想修哪本課本的哪個記號？ 12/05 22:49
14F：→ alan23273850: 圖片(5)的下方有u(t)和v(s)-->0的這個記號，私以為 12/05 23:19
15F：→ alan23273850: 它隱含了不能為 0 的假設，如果可以為 0，我也不知 12/05 23:20
16F：→ alan23273850: 道要怎麼改會比較好。 12/05 23:20
17F：推 Vulpix : 那邊本來就只能寫t→x。 12/05 23:28
18F：→ alan23273850: t->x 沒錯，但是u(t)->0 會讓我以為 u(t)不為0 12/05 23:30
19F：→ alan23273850: 我一直覺得 -> 代表趨近於的時候不能碰到該值。 12/05 23:31
20F：推 znmkhxrw : 這樣就是你誤會了 "f(x)→L as x→p"其實就是 12/05 23:32
21F：→ znmkhxrw : lim_{x→p} f(x) = L的縮寫而已 12/05 23:33
22F：推 Vulpix : 沒有這回事，你誤會了。 12/05 23:33
23F：→ znmkhxrw : f(x)是可以碰到L的, 是x不能碰到p(或是說我只規範 12/05 23:33
24F：→ znmkhxrw : 不碰到p的case) 12/05 23:33
25F：→ Refauth : 因為愛。XD 12/05 23:34
26F：→ alan23273850: 喔乾 好像是欸，f(x) 靠近 L 的過程中好像是可以在 12/05 23:50
27F：→ alan23273850: 某時刻相等的，事實上 x 靠近 p 的過程中也可以某時 12/05 23:50
28F：→ alan23273850: 刻相交於 p，只是會讓人覺得有點多此一舉的感覺。 12/05 23:51
29F：→ alan23273850: 謝謝大大們解惑！我找時間發 P 幣給各位。 12/05 23:51
30F：推 Vulpix : f(x)=x^2*sin(1/x)是一種常見的範例，而常數函數f 12/06 00:35
31F：→ Vulpix : 則更簡單粗暴。前者說明不是只有常數函數會出問題 12/06 00:35
32F：→ Vulpix : 。 12/06 00:35
33F：→ Vulpix : 事實上f'=0的情況完全可以當成是一個太過美麗的巧 12/06 00:42
34F：→ Vulpix : 合。也就是把chain rule分成兩部份，f'≠0時的話就 12/06 00:42
35F：→ Vulpix : 用分數湊項，而f'=0的時候就直接得到(g。f)'=0。但 12/06 00:42
36F：→ Vulpix : 可以合起來寫，又何必分開呢？ 12/06 00:42
37F：→ alan23273850: 其實我剛剛就是有發現分成兩個 case 的這個現象才知 12/06 01:31
38F：→ alan23273850: 道這個寫法的精妙之處！ 12/06 01:31
39F：→ alan23273850: 我方便再追問一下羅畢達的證明可以應用到 x 趨近於 12/06 01:31
40F：→ alan23273850: 正負無窮大的情況嗎？許多課本(含 Rudin)跟wiki似乎 12/06 01:32
41F：→ alan23273850: 都沒 cover 到這個 case... 12/06 01:32
42F：→ alan23273850: 算了，好像可以，其實我自己可以想通的 12/06 01:34
43F：推 Vulpix : wiki有cover到。至於rudin我忘了，但我不覺得他會 12/06 01:50
44F：→ Vulpix : 漏掉，是不是在習題呢？ 12/06 01:50
45F：推 Vulpix : 我查好了，Rudin大大沒有漏掉，課文都有寫到。 12/06 01:55
46F：→ alan23273850: 我後來才發現 Rudin 這樣的配置是最好的，因為雙邊 12/06 11:11
47F：→ alan23273850: 極限可以由單邊apply兩次得到，然後x跑到無窮大的這 12/06 11:12
48F：→ alan23273850: 個例子也只能使用單邊極限論述，不得不說 Rudin 真 12/06 11:12
49F：→ alan23273850: 的是本神書，引人入勝，讓人停不下來 12/06 11:12