作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[分析] 为什麽 dy/dt = dy/dx * dx/dt 并不严谨?
时间Sun Dec 5 15:27:31 2021
如题，小弟这学期正在研读 Rudin 这本书，Theorem 5.5 正好是初微讲过的 chain rule
我深知它的证明手法大概都是层层剥开，然後每一层都是藉由 "该变数趋近於目标值所以
残余项趋近於零" 的这个现象来说明该层导数刚好就是那个位置的微分值，只是按照这个
说法，那我附图
https://imgur.com/fDhSMpN 中的最後一行，也就是去模拟 dy/dt =
dy/dx * dx/dt 这个写法的这件事应该也没错啊，那为什麽会有人说这种看起来可以通分
的写法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 这种符号不可以用在这里，还是说我附图
最底下式子的写法也不甚严谨呢？如果是，又是不严谨在哪呢？
先谢谢各位先进解惑了！
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1F：推 cmrafsts : 你这个case的问题是f(t)-f(x)可能是0 12/05 16:04
2F：推 Vulpix : 而且可能一直是0或常常是0。 12/05 18:07
3F：→ alan23273850: 原来如此！那我原本以为课本 u(t) 和 v(s) 趋近於 12/05 19:47
4F：→ alan23273850: 0 就隐含不能等於 0 的假设就错误了呢，这样的话课 12/05 19:47
5F：→ alan23273850: 本记号是不是应该也要修正一下？所以除此之外还有 12/05 19:47
6F：→ alan23273850: 其他理由吗？我可能考虑替楼上两位发钱喔！ 12/05 19:47
7F：→ TaiwanFight : 笑死 12/05 20:03
8F：→ alan23273850: 我会有这样的误解很合理啊！一般说 x 趋近於 c 都 12/05 21:00
9F：→ alan23273850: 会强调 x 不能刚好为 c，所以我会认为误差项不能恰 12/05 21:00
10F：→ alan23273850: 好是零也是理所当然的 12/05 21:00
11F：→ alan23273850: 怎麽可以嘲笑认真上进的同学呢？这不是数学板应该 12/05 21:01
12F：→ alan23273850: 要有的风气吧！ 12/05 21:01
13F：推 Vulpix : 你想修哪本课本的哪个记号？ 12/05 22:49
14F：→ alan23273850: 图片(5)的下方有u(t)和v(s)-->0的这个记号，私以为 12/05 23:19
15F：→ alan23273850: 它隐含了不能为 0 的假设，如果可以为 0，我也不知 12/05 23:20
16F：→ alan23273850: 道要怎麽改会比较好。 12/05 23:20
17F：推 Vulpix : 那边本来就只能写t→x。 12/05 23:28
18F：→ alan23273850: t->x 没错，但是u(t)->0 会让我以为 u(t)不为0 12/05 23:30
19F：→ alan23273850: 我一直觉得 -> 代表趋近於的时候不能碰到该值。 12/05 23:31
20F：推 znmkhxrw : 这样就是你误会了 "f(x)→L as x→p"其实就是 12/05 23:32
21F：→ znmkhxrw : lim_{x→p} f(x) = L的缩写而已 12/05 23:33
22F：推 Vulpix : 没有这回事，你误会了。 12/05 23:33
23F：→ znmkhxrw : f(x)是可以碰到L的, 是x不能碰到p(或是说我只规范 12/05 23:33
24F：→ znmkhxrw : 不碰到p的case) 12/05 23:33
25F：→ Refauth : 因为爱。XD 12/05 23:34
26F：→ alan23273850: 喔乾 好像是欸，f(x) 靠近 L 的过程中好像是可以在 12/05 23:50
27F：→ alan23273850: 某时刻相等的，事实上 x 靠近 p 的过程中也可以某时 12/05 23:50
28F：→ alan23273850: 刻相交於 p，只是会让人觉得有点多此一举的感觉。 12/05 23:51
29F：→ alan23273850: 谢谢大大们解惑！我找时间发 P 币给各位。 12/05 23:51
30F：推 Vulpix : f(x)=x^2*sin(1/x)是一种常见的范例，而常数函数f 12/06 00:35
31F：→ Vulpix : 则更简单粗暴。前者说明不是只有常数函数会出问题 12/06 00:35
32F：→ Vulpix : 。 12/06 00:35
33F：→ Vulpix : 事实上f'=0的情况完全可以当成是一个太过美丽的巧 12/06 00:42
34F：→ Vulpix : 合。也就是把chain rule分成两部份，f'≠0时的话就 12/06 00:42
35F：→ Vulpix : 用分数凑项，而f'=0的时候就直接得到(g。f)'=0。但 12/06 00:42
36F：→ Vulpix : 可以合起来写，又何必分开呢？ 12/06 00:42
37F：→ alan23273850: 其实我刚刚就是有发现分成两个 case 的这个现象才知 12/06 01:31
38F：→ alan23273850: 道这个写法的精妙之处！ 12/06 01:31
39F：→ alan23273850: 我方便再追问一下罗毕达的证明可以应用到 x 趋近於 12/06 01:31
40F：→ alan23273850: 正负无穷大的情况吗？许多课本(含 Rudin)跟wiki似乎 12/06 01:32
41F：→ alan23273850: 都没 cover 到这个 case... 12/06 01:32
42F：→ alan23273850: 算了，好像可以，其实我自己可以想通的 12/06 01:34
43F：推 Vulpix : wiki有cover到。至於rudin我忘了，但我不觉得他会 12/06 01:50
44F：→ Vulpix : 漏掉，是不是在习题呢？ 12/06 01:50
45F：推 Vulpix : 我查好了，Rudin大大没有漏掉，课文都有写到。 12/06 01:55
46F：→ alan23273850: 我後来才发现 Rudin 这样的配置是最好的，因为双边 12/06 11:11
47F：→ alan23273850: 极限可以由单边apply两次得到，然後x跑到无穷大的这 12/06 11:12
48F：→ alan23273850: 个例子也只能使用单边极限论述，不得不说 Rudin 真 12/06 11:12
49F：→ alan23273850: 的是本神书，引人入胜，让人停不下来 12/06 11:12