先從有比較明確問題的回應 1. 如果考慮在沒有 = 的後設語言（或稱邏輯系統） 那在集合論中 = 的定義就是用 Axiom of Extensionality， 直覺來說就是具有一樣元素的視為一樣。一樣元素 這件事情不需要比對，單純用 implication => 就夠了。 2. 在一階邏輯系統下，常見的定義是 Leibniz equality。 直覺來說是 x = y 若對所有 predicate P 都有 P(x) 跟 P(y) 等價 （細究的話還要考慮邏輯系統怎麼建構設計的，要怎麼定義 P(x) 這類操作） 像是 reflexivity, symmetry 跟 transitivity 可以用這個定義導出來。 系統上有了 = 之後，集合論上的 Axiom of Extensionality 敘述會修改成適合的形式，改成「對所有 x 在 A 為若且若 x 在 B」可推得 A = B。 反過來從 Leibniz equality 可以得出。 3. 後設語言上的「函數」跟集合論上的函數是不同層次的東西， 可以用純符號規則，定義出後設語言上函數的操作定義， 這一層獨立於集合論，沒有循環論證的問題。 （認為函數就是集合論定義的那套才是狹隘的觀點） 4. 聯集定義不涉及 = ，因為那是其中一項公理。 Axiom of Union 說給定一堆集合的集合 S ，存在一個集合 B 滿足 對任意 S 裡頭的集合 A 以及任意 A 裡頭的元素 x 都會在 B 裡頭。 5. Peano axiom 跟 ZF set theory 兩者沒有直接關係。 後者可以用來建構前者的模型，用空集合代表 0, 然後 {0} 代表 1, {0, 1} 代表 2 依此類推下去。 6. 一個數學物件不是集合（稱為 ur-element）在 ZF Set Theory 是不存在的，所有的符號都得編碼成某種集合去討論。 有的集合論會允許這樣的物件存在。在其他的數學基礎如 Martin-Lof type theory 下則沒有這樣的困擾，只要滿足特定的形式就可以加。 7. 最後等式的概念，也是目前數理邏輯跟理論電腦科學中研究非常活躍的題目， 何謂等式的證明跟等式如何計算等問題，到近幾年動用 homotopy theory 詮釋發展 homotopy type theory 跟以 cubical sets 數學概念 發展的 cubical theory 是很多理論討論也充滿應用的領域，其中也有不少 貢獻來自傳統的數學家，像是過世沒多久的費爾茲獎得主 Vladimir Voevodsky。 才不是什麼走火入魔或是哲學才會問的問題 ... 後面回文的部分有點亂，就不一一回應了。（飄走） ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 如題這個問題, 以前是我覺得走火入魔/哲學才會問的問題... : 但是最近遇到(E1),(E2)兩個例子的矛盾讓我不得不嚴格對待下列問題: : ===== 可先看後面的例子(E1), (E2)就知道為什麼會問以下問題 ====== : (Q1) 給定一個集合後, 可以不給等號的嗎? : 換句話說, 一個集合可以給不同的等號嗎? : 如果可以, 等號不唯一囉!? : (Q2) 要回答Q1的話, 必須知道等號的定義是什麼? : wiki是說等號會滿足四個性質(但也沒說這是等號的定義): : (1) x=x (2) if x = y then y = x (3) if x = y, y = z then x = z : (4) if x = y then for any predicate P, we have P(x) = P(y) : 姑且當上面這四點是等號的定義好了, 但是(4)要如何檢查... : 而有reference是把(4)寫成"for any function" : 但是我覺得不恰當, 因為function的定義要先有集合的等號定義, 不然會循環定義 : 因此假設(4)可以檢查好了, 我們就可以隨便給定集合後, 去定義在這集合上面的 : 等號, 只要他滿足(1)~(4)即可? : (Q3) 如果Q1對, 這樣看起來是給了集合才給了等號, 但是對於《0.5不屬於Z》這句話 : 就矛盾了, 因為如果等號只定義在Z, 根本無法規範0.5是否在Z裡面 : 我的意思是, 要說一個元素x有沒有屬於一個集合S, 前提要是有個等號是可以比較 : {x}聯集S的所有元素嗎? 但是聯集本身又涉及等號定義... : Q3目前怎麼想怎麼卡...充滿一堆不精確的矛盾語言 : (Q4) 不管在群,環,體,向量空間...這些帶有特定結構的集合S : 他們的定義中一定有出現等號, 是不是邏輯上就是假設S上具有一個等號 : , 即此等號具有Q2的(1)~(4) : 今天如果這些結構集合是拿已經定義完的N, Z, Q, R, C...這些集合, 當然沒問題 : 但是如果是 S:={西瓜, 水果, ptt}, 我們就必須定義這些元素是什麼, 然後再定義 : 等號, 運算, 之後才能說(S, =, op)是某種結構吧? : ================================================================ : (E1) 在Herstein的代數中定義多項式環時, 他有先定義兩個多項式相等為係數相等 : 這代表Q1跟Q2的答案是肯定的囉? 也就是說, 順序如下: : (1) 先寫出一個集合R[x]叫做多項式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件 : (2) R[x]的存在性目前不涉及等號, 只是如果我們如果要討論 : 《屬於, 包含, 子集, 元素個數...》這些名詞的話, 就要先定義等號, : 因此這裡採取"係數相等"為R[x]的等號定義 : (3) 去證明這個等號定義符合Q2的(1)~(4) : 如果嚴格說來是這樣沒錯, 那怎麼證明Q2的(4)? : 如果不是這樣, 那又是如何呢? : (E2) Z = {所有整數}, 我們可以由皮亞諾公設與ZF公設去說他已經有等號了 : 像是 1 != 2, 1 = 1... : 接著考慮equivalence relation的話, x,y€Z, x~y iff x-y is even : 就可以定義 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y} : 然後藉由集合的相等定義來當作Z_2的等號, 因此#Z_2 = 2 : 所以目前的邏輯跟(E1)一致: (1) 定義出Z_2 : (2) 定義等號為集合相等 : 且默認集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的 : 但是今天我能不能這樣做: (1) 在Z上定義新的等號叫作"%", 定義為: : x,y€Z, x%y iff x-y is even : (2) 證明%符合Q2的(1)~(4) : 然後說Z在%的等號定義下#Z=2 : 可能有人會說《%根本就是~》, 但是我會舉這個例子是要跟(E1)對比: : 【如果R[x]的等號是需要定義的, 那我為什麼不能在Z上重新定義等號】 : --------------------------------------------------------------------------- : 總之, 這些牽扯到哲學, 邏輯公設, 公設...的東西我本來就不想鑽 : 但是目前我解決不了(E1)與(E2)的矛盾... : 還是要解決矛盾就真的要碰這些... : 這些問題如果有確切答案的話, 再請版友告知 : 如果單純分享想法也歡迎, google到的reference也是大多是"分享" : 好像沒有嚴格定義說這些答案是什麼... : 謝謝幫忙~ : 再依分享人數量力回饋P幣, 感恩~ --

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