先从有比较明确问题的回应 1. 如果考虑在没有 = 的後设语言（或称逻辑系统） 那在集合论中 = 的定义就是用 Axiom of Extensionality， 直觉来说就是具有一样元素的视为一样。一样元素 这件事情不需要比对，单纯用 implication => 就够了。 2. 在一阶逻辑系统下，常见的定义是 Leibniz equality。 直觉来说是 x = y 若对所有 predicate P 都有 P(x) 跟 P(y) 等价 （细究的话还要考虑逻辑系统怎麽建构设计的，要怎麽定义 P(x) 这类操作） 像是 reflexivity, symmetry 跟 transitivity 可以用这个定义导出来。 系统上有了 = 之後，集合论上的 Axiom of Extensionality 叙述会修改成适合的形式，改成「对所有 x 在 A 为若且若 x 在 B」可推得 A = B。 反过来从 Leibniz equality 可以得出。 3. 後设语言上的「函数」跟集合论上的函数是不同层次的东西， 可以用纯符号规则，定义出後设语言上函数的操作定义， 这一层独立於集合论，没有循环论证的问题。 （认为函数就是集合论定义的那套才是狭隘的观点） 4. 联集定义不涉及 = ，因为那是其中一项公理。 Axiom of Union 说给定一堆集合的集合 S ，存在一个集合 B 满足 对任意 S 里头的集合 A 以及任意 A 里头的元素 x 都会在 B 里头。 5. Peano axiom 跟 ZF set theory 两者没有直接关系。 後者可以用来建构前者的模型，用空集合代表 0, 然後 {0} 代表 1, {0, 1} 代表 2 依此类推下去。 6. 一个数学物件不是集合（称为 ur-element）在 ZF Set Theory 是不存在的，所有的符号都得编码成某种集合去讨论。 有的集合论会允许这样的物件存在。在其他的数学基础如 Martin-Lof type theory 下则没有这样的困扰，只要满足特定的形式就可以加。 7. 最後等式的概念，也是目前数理逻辑跟理论电脑科学中研究非常活跃的题目， 何谓等式的证明跟等式如何计算等问题，到近几年动用 homotopy theory 诠释发展 homotopy type theory 跟以 cubical sets 数学概念 发展的 cubical theory 是很多理论讨论也充满应用的领域，其中也有不少 贡献来自传统的数学家，像是过世没多久的费尔兹奖得主 Vladimir Voevodsky。 才不是什麽走火入魔或是哲学才会问的问题 ... 後面回文的部分有点乱，就不一一回应了。（飘走） ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 如题这个问题, 以前是我觉得走火入魔/哲学才会问的问题... : 但是最近遇到(E1),(E2)两个例子的矛盾让我不得不严格对待下列问题: : ===== 可先看後面的例子(E1), (E2)就知道为什麽会问以下问题 ====== : (Q1) 给定一个集合後, 可以不给等号的吗? : 换句话说, 一个集合可以给不同的等号吗? : 如果可以, 等号不唯一罗!? : (Q2) 要回答Q1的话, 必须知道等号的定义是什麽? : wiki是说等号会满足四个性质(但也没说这是等号的定义): : (1) x=x (2) if x = y then y = x (3) if x = y, y = z then x = z : (4) if x = y then for any predicate P, we have P(x) = P(y) : 姑且当上面这四点是等号的定义好了, 但是(4)要如何检查... : 而有reference是把(4)写成"for any function" : 但是我觉得不恰当, 因为function的定义要先有集合的等号定义, 不然会循环定义 : 因此假设(4)可以检查好了, 我们就可以随便给定集合後, 去定义在这集合上面的 : 等号, 只要他满足(1)~(4)即可? : (Q3) 如果Q1对, 这样看起来是给了集合才给了等号, 但是对於《0.5不属於Z》这句话 : 就矛盾了, 因为如果等号只定义在Z, 根本无法规范0.5是否在Z里面 : 我的意思是, 要说一个元素x有没有属於一个集合S, 前提要是有个等号是可以比较 : {x}联集S的所有元素吗? 但是联集本身又涉及等号定义... : Q3目前怎麽想怎麽卡...充满一堆不精确的矛盾语言 : (Q4) 不管在群,环,体,向量空间...这些带有特定结构的集合S : 他们的定义中一定有出现等号, 是不是逻辑上就是假设S上具有一个等号 : , 即此等号具有Q2的(1)~(4) : 今天如果这些结构集合是拿已经定义完的N, Z, Q, R, C...这些集合, 当然没问题 : 但是如果是 S:={西瓜, 水果, ptt}, 我们就必须定义这些元素是什麽, 然後再定义 : 等号, 运算, 之後才能说(S, =, op)是某种结构吧? : ================================================================ : (E1) 在Herstein的代数中定义多项式环时, 他有先定义两个多项式相等为系数相等 : 这代表Q1跟Q2的答案是肯定的罗? 也就是说, 顺序如下: : (1) 先写出一个集合R[x]叫做多项式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件 : (2) R[x]的存在性目前不涉及等号, 只是如果我们如果要讨论 : 《属於, 包含, 子集, 元素个数...》这些名词的话, 就要先定义等号, : 因此这里采取"系数相等"为R[x]的等号定义 : (3) 去证明这个等号定义符合Q2的(1)~(4) : 如果严格说来是这样没错, 那怎麽证明Q2的(4)? : 如果不是这样, 那又是如何呢? : (E2) Z = {所有整数}, 我们可以由皮亚诺公设与ZF公设去说他已经有等号了 : 像是 1 != 2, 1 = 1... : 接着考虑equivalence relation的话, x,y€Z, x~y iff x-y is even : 就可以定义 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y} : 然後藉由集合的相等定义来当作Z_2的等号, 因此#Z_2 = 2 : 所以目前的逻辑跟(E1)一致: (1) 定义出Z_2 : (2) 定义等号为集合相等 : 且默认集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的 : 但是今天我能不能这样做: (1) 在Z上定义新的等号叫作"%", 定义为: : x,y€Z, x%y iff x-y is even : (2) 证明%符合Q2的(1)~(4) : 然後说Z在%的等号定义下#Z=2 : 可能有人会说《%根本就是~》, 但是我会举这个例子是要跟(E1)对比: : 【如果R[x]的等号是需要定义的, 那我为什麽不能在Z上重新定义等号】 : --------------------------------------------------------------------------- : 总之, 这些牵扯到哲学, 逻辑公设, 公设...的东西我本来就不想钻 : 但是目前我解决不了(E1)与(E2)的矛盾... : 还是要解决矛盾就真的要碰这些... : 这些问题如果有确切答案的话, 再请版友告知 : 如果单纯分享想法也欢迎, google到的reference也是大多是"分享" : 好像没有严格定义说这些答案是什麽... : 谢谢帮忙~ : 再依分享人数量力回馈P币, 感恩~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.169.128.237 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1637514430.A.039.html ※ 编辑: xcycl (1.169.128.237 台湾), 11/22/2021 01:29:47 ※ 编辑: xcycl (1.169.128.237 台湾), 11/22/2021 01:30:07 ※ 编辑: xcycl (1.169.128.237 台湾), 11/22/2021 01:33:29