作者TimcApple (肥鵝)
看板Math
標題[中學] 問 AMC12 一題的解法
時間Sun Nov 21 14:57:05 2021
FALL 2021 AMC12 A
25. 設 m >= 5 且為奇數
並設 D(m) 表示四元數組 (a_1, a_2 ,a_3 ,a_4) 的組數
其中 a_i 為相異的整數，1 <= a_i <= m (i=1,2,3,4)
且 m 可以整除 a_1+a_2+a_3+a_4
若有一個多項式 q(x)=c_3 x^3+c_2 x^2+c_1 x+c_0
對所有的奇數 m >= 5 滿足 D(m) = q(m)，則 c_1=？
(A) -6 (B) -1 (C) 4 (D) 6 (E) 11
由於沒有想到好作法，我直接窮舉 D(5), D(7), D(9), D(11) 然後暴力插值
但 AMC 作答時間有限，這樣肯定算不完
想問有沒有其他解法，特別是有沒有遞迴的作法
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1F：推 alan23273850: 這裡的相異是指完全相異嗎？ 11/21 18:52
2F：推 alan23273850: 我的想法是，之所以要限制 >= 5，又對於以上的數字 11/21 18:56
3F：→ alan23273850: 都相等，代表大數之後會有一定的規律，我會把 D(n+ 11/21 18:56
4F：→ alan23273850: 2) - D(n) 找出來 11/21 18:56
5F：→ alan23273850: 只不過那個規律剛好能被三次多項式表達而已 11/21 18:57
6F：推 alan23273850: sum 只可能是 m, 2m, 3m, 4m，估計跟 H(n,m) 有關 11/21 19:07
7F：→ TimcApple : 是完全相異 其實沒有 4m 不像 H 而是像 partition 11/21 19:19
8F：推 alan23273850: 我覺得一定有規律，不然怎麼那麼剛好有多項式可以 11/21 19:25
9F：→ alan23273850: 描述，想想相鄰 D 之間的關係？ 11/21 19:25
10F：推 LPH66 : 不會是 4m (因為四元組元素相異) 11/21 22:55
12F：→ emptie : 忍不住去看答案了 我發現我完全想錯方向了 11/21 23:41
13F：→ emptie : 這個性質是不是跟group theory有關 11/21 23:48
14F：推 alan23273850: 他是不是也沒證明到 for all large n 這件事 11/22 01:36
15F：推 cmrafsts : 影片沒有仔細證明。考慮Z/mZ-action on (Z/mZ)^4 11/22 02:43
16F：→ cmrafsts : 1(a,b,c,d):=(a+1,b+1,c+1,d+1)。每個orbit上的m個 11/22 02:44
17F：→ cmrafsts : 元素的總合剛好形成Z/mZ。如果m是偶數，這會是錯的 11/22 02:45
18F：→ cmrafsts : 所以有他所說的「對稱性」。 11/22 02:45
19F：推 cmrafsts : 你也可以寫個生成函數下去算，勉強還算高中生會算的 11/22 02:51
20F：→ TimcApple : 噢噢噢 懂了 這招真猛 11/22 12:10
21F：→ TimcApple : 不用 for large n 其實 group theory 也不用 11/22 12:10
22F：→ TimcApple : 用同餘就可以了 只是很難想到的想法 11/22 12:10
23F：→ TimcApple : 以前也是有學過類似題啦但不熟 沒往這方面想 11/22 12:11
24F：推 alan23273850: 蘋果大要不要用回文的方式再把同餘的概念統整一遍 11/22 12:48
25F：→ alan23273850: 呢？這樣才能方便想知道的人了解其細節 11/22 12:48