作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题[中学] 问 AMC12 一题的解法
时间Sun Nov 21 14:57:05 2021
FALL 2021 AMC12 A
25. 设 m >= 5 且为奇数
并设 D(m) 表示四元数组 (a_1, a_2 ,a_3 ,a_4) 的组数
其中 a_i 为相异的整数，1 <= a_i <= m (i=1,2,3,4)
且 m 可以整除 a_1+a_2+a_3+a_4
若有一个多项式 q(x)=c_3 x^3+c_2 x^2+c_1 x+c_0
对所有的奇数 m >= 5 满足 D(m) = q(m)，则 c_1=？
(A) -6 (B) -1 (C) 4 (D) 6 (E) 11
由於没有想到好作法，我直接穷举 D(5), D(7), D(9), D(11) 然後暴力插值
但 AMC 作答时间有限，这样肯定算不完
想问有没有其他解法，特别是有没有递回的作法
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1F：推 alan23273850: 这里的相异是指完全相异吗？ 11/21 18:52
2F：推 alan23273850: 我的想法是，之所以要限制 >= 5，又对於以上的数字 11/21 18:56
3F：→ alan23273850: 都相等，代表大数之後会有一定的规律，我会把 D(n+ 11/21 18:56
4F：→ alan23273850: 2) - D(n) 找出来 11/21 18:56
5F：→ alan23273850: 只不过那个规律刚好能被三次多项式表达而已 11/21 18:57
6F：推 alan23273850: sum 只可能是 m, 2m, 3m, 4m，估计跟 H(n,m) 有关 11/21 19:07
7F：→ TimcApple : 是完全相异 其实没有 4m 不像 H 而是像 partition 11/21 19:19
8F：推 alan23273850: 我觉得一定有规律，不然怎麽那麽刚好有多项式可以 11/21 19:25
9F：→ alan23273850: 描述，想想相邻 D 之间的关系？ 11/21 19:25
10F：推 LPH66 : 不会是 4m (因为四元组元素相异) 11/21 22:55
12F：→ emptie : 忍不住去看答案了 我发现我完全想错方向了 11/21 23:41
13F：→ emptie : 这个性质是不是跟group theory有关 11/21 23:48
14F：推 alan23273850: 他是不是也没证明到 for all large n 这件事 11/22 01:36
15F：推 cmrafsts : 影片没有仔细证明。考虑Z/mZ-action on (Z/mZ)^4 11/22 02:43
16F：→ cmrafsts : 1(a,b,c,d):=(a+1,b+1,c+1,d+1)。每个orbit上的m个 11/22 02:44
17F：→ cmrafsts : 元素的总合刚好形成Z/mZ。如果m是偶数，这会是错的 11/22 02:45
18F：→ cmrafsts : 所以有他所说的「对称性」。 11/22 02:45
19F：推 cmrafsts : 你也可以写个生成函数下去算，勉强还算高中生会算的 11/22 02:51
20F：→ TimcApple : 噢噢噢 懂了 这招真猛 11/22 12:10
21F：→ TimcApple : 不用 for large n 其实 group theory 也不用 11/22 12:10
22F：→ TimcApple : 用同余就可以了 只是很难想到的想法 11/22 12:10
23F：→ TimcApple : 以前也是有学过类似题啦但不熟 没往这方面想 11/22 12:11
24F：推 alan23273850: 苹果大要不要用回文的方式再把同余的概念统整一遍 11/22 12:48
25F：→ alan23273850: 呢？这样才能方便想知道的人了解其细节 11/22 12:48