如題這個問題, 以前是我覺得走火入魔/哲學才會問的問題... 但是最近遇到(E1),(E2)兩個例子的矛盾讓我不得不嚴格對待下列問題: ===== 可先看後面的例子(E1), (E2)就知道為什麼會問以下問題 ====== (Q1) 給定一個集合後, 可以不給等號的嗎? 換句話說, 一個集合可以給不同的等號嗎? 如果可以, 等號不唯一囉!? (Q2) 要回答Q1的話, 必須知道等號的定義是什麼? wiki是說等號會滿足四個性質(但也沒說這是等號的定義): (1) x=x (2) if x = y then y = x (3) if x = y, y = z then x = z (4) if x = y then for any predicate P, we have P(x) = P(y) 姑且當上面這四點是等號的定義好了, 但是(4)要如何檢查... 而有reference是把(4)寫成"for any function" 但是我覺得不恰當, 因為function的定義要先有集合的等號定義, 不然會循環定義 因此假設(4)可以檢查好了, 我們就可以隨便給定集合後, 去定義在這集合上面的 等號, 只要他滿足(1)~(4)即可? (Q3) 如果Q1對, 這樣看起來是給了集合才給了等號, 但是對於《0.5不屬於Z》這句話 就矛盾了, 因為如果等號只定義在Z, 根本無法規範0.5是否在Z裡面 我的意思是, 要說一個元素x有沒有屬於一個集合S, 前提要是有個等號是可以比較 {x}聯集S的所有元素嗎? 但是聯集本身又涉及等號定義... Q3目前怎麼想怎麼卡...充滿一堆不精確的矛盾語言 (Q4) 不管在群,環,體,向量空間...這些帶有特定結構的集合S 他們的定義中一定有出現等號, 是不是邏輯上就是假設S上具有一個等號 , 即此等號具有Q2的(1)~(4) 今天如果這些結構集合是拿已經定義完的N, Z, Q, R, C...這些集合, 當然沒問題 但是如果是 S:={西瓜, 水果, ptt}, 我們就必須定義這些元素是什麼, 然後再定義 等號, 運算, 之後才能說(S, =, op)是某種結構吧? ================================================================ (E1) 在Herstein的代數中定義多項式環時, 他有先定義兩個多項式相等為係數相等 這代表Q1跟Q2的答案是肯定的囉? 也就是說, 順序如下: (1) 先寫出一個集合R[x]叫做多項式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件 (2) R[x]的存在性目前不涉及等號, 只是如果我們如果要討論 《屬於, 包含, 子集, 元素個數...》這些名詞的話, 就要先定義等號, 因此這裡採取"係數相等"為R[x]的等號定義 (3) 去證明這個等號定義符合Q2的(1)~(4) 如果嚴格說來是這樣沒錯, 那怎麼證明Q2的(4)? 如果不是這樣, 那又是如何呢? (E2) Z = {所有整數}, 我們可以由皮亞諾公設與ZF公設去說他已經有等號了 像是 1 != 2, 1 = 1... 接著考慮equivalence relation的話, x,y€Z, x~y iff x-y is even 就可以定義 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y} 然後藉由集合的相等定義來當作Z_2的等號, 因此#Z_2 = 2 所以目前的邏輯跟(E1)一致: (1) 定義出Z_2 (2) 定義等號為集合相等 且默認集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的 但是今天我能不能這樣做: (1) 在Z上定義新的等號叫作"%", 定義為: x,y€Z, x%y iff x-y is even (2) 證明%符合Q2的(1)~(4) 然後說Z在%的等號定義下#Z=2 可能有人會說《%根本就是~》, 但是我會舉這個例子是要跟(E1)對比: 【如果R[x]的等號是需要定義的, 那我為什麼不能在Z上重新定義等號】 --------------------------------------------------------------------------- 總之, 這些牽扯到哲學, 邏輯公設, 公設...的東西我本來就不想鑽 但是目前我解決不了(E1)與(E2)的矛盾... 還是要解決矛盾就真的要碰這些... 這些問題如果有確切答案的話, 再請版友告知 如果單純分享想法也歡迎, google到的reference也是大多是"分享" 好像沒有嚴格定義說這些答案是什麼... 謝謝幫忙~ 再依分享人數量力回饋P幣, 感恩~ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1637264455.A.B9B.html peano跟ZF都直接承認, 所以沒有懷疑過XDD 所以在用集合論當作基礎下, 自己定義等號是合法的, 或是說沒有一致的定義說你錯, 直 到別人發現你這個等號自相矛盾(見下(E3))之前你都是對的? 所以(E1), (E2)都是合法的 , 可以在Z定義新等號? (E3) 在Z定義新等號為: x@y iff x*y = 0 然後發現"@"不滿足遞移性, 即x=1, y =0, z = 2時, 我們有x@y且y@z但是x!@z 從(E3)可見自定義等號非常危險, 所以能盡量不這麼做就不這樣做, 像是(E2)能用equiva lence relation就用, 不要去新定義等號, 而(E1)的自定義等號嚴格算起來到現在都沒錯 誤(因為照r大你說的目前沒有公認的定義)所以就用到現在? 另外(E1)跟朋友討論起來可以用ring的sequence來定義polynomial來避開自定義等號的問 題, 因為sequence是function, 而函數有集合論的定義, 我集合論又送你等號, 所以結合 r大你的說法, 這算是一種完善(E1)的方式了? 意思是說, 我採用集合論構造的Z的話, 就沒必要定義新的等號? 那如果我真的要像(E2)那樣為Z定義新等號, 其實是合法的, 只是有風險? 另外想問一下r大, 我最終想要得到的答案/看法是為什麼: (E1)的R[x]要自己定義等號, (E2)的Z不用 這個問題的答案是什麼呢? 是否是: (E1)的等號是尚未定義, 所以一定要定義 (E2)的等號已經有公設的集合等號可以用, 沒必要定義新等號, 要新定義也可以, 風險自負 也就是說在集合論下(E1),(E2)都可以有沿用公設等號, 不用定義等號的定義方式 因此也沒必要承擔自己定義等號所帶來的風險 而"到底能不能自定義等號", 理論上符合等號公設那四點就可以 只是第四點很難有大家都接受的檢查方法, 因此盡量避開自定義等號 舉例來說, 今天如果我自定義集合與等號後證明了某個猜想 而這個證明過程目前沒辦法用集合論/公設整套改寫取代 那這個證明就是有人接受, 有人不接受的哲學問題了? 上述這三段如果都跟r大的想法是一致的話, 那我就沒問題了 再請你check一下~感恩 P大V大, 原本我也直觀的認為等號就是相同, 一切都沒有問題 但是直到遇到多項式環R[x]的矛盾解釋, 讓我的直觀受到衝擊: R[x]裡面的元素是函數嗎? (1) 是: 那直接拿函數的等號當等號的話, 在#R是finite時, 會遇到係數不唯一的問題 要解決這問題就必須重新定義等號, 但是從這篇討論又覺得自定義等號很危險 (2) 否: 那到底是什麼? 而即便說不是函數, 而是一些"長相"如a_n*x^n+...+a_0的物件時 接著像代數教科書去定義等號為係數相等, 為什麼他這裡就能自定義等號? 總之, 如果有直觀上的解釋去回答《R[x]裡面的元素是函數嗎?》 我也不想碰自定義等號這個問題... 但是現況是R[x]確實自定義等號了, 我才會好奇說什麼時候可以自定義等號 P.S. R[x]可以用數列來避開自定義等號, 或許是目前的解答? 理解! 我也覺得話約成一套公認的基礎來保證相融很重要 所以綜合r以上說的這些, 代數課本可以自定義R[x]的等號, 就是因為 他可以化約成數列, 而數列是函數, 函數又有集合論定義, 因此是相融的 假設今天R[x]與其等號沒有人可以化約成集合論語言, 那等於多項式環的理論 跟其他理論是不能相容的? (期待答案: yes) 意思是, 數學家在定義R[x]與其等號時, 早就考慮過可以化約成集合論語言, 所以才放心的研究下去? (期待答案: yes) 你跟1樓的L大以及V大提的點, 我去看wiki的ZF axiom的extensionality, 節錄出兩個點 <定義> x,y有相同元素 := for any z, (z€x<=>z€y) Axiom of extensionality: (1) 如果目前有等號定義: 若x,y有相同元素, 則x=y (2) 如果目前沒有等號定義: 在定義等號為你說的那樣後, 回到(1) 也就是說, 從(1)看來, ZF公設是允許這個系統內本身就有《屬於跟等號》 只是不知道如果已經有等號的情況下, 你又定義等號為你說的那樣 那這兩個等號會一樣嗎@@? 就沒細究了 恩恩, 了解了! 整體歸納下來即是: (1)《R[x]的構造與其等號的定義》與集合論是相容的, by 數列與數列相等 (2) 若自定義R[x]內的元素與自定義等號, 可能都沒有矛盾, 只是這套"特別的系統" 與其他數學不一定相容, 泛用性與接受度就很低 我想以上兩點就是這篇問題的答案了 P大你寫的不管是有理數還是(p,q)在我的理解中都有明確定義 你提的"想要討論的集合到底是什麼", 對我來說也是很重要, 我就是想知道這件事 我的問題就是連這是什麼我都沒辦法說清楚, 即R[x] 代數與wiki的R[x], 都說是收集"長相"如a_n*x^n+...+a_0的物件 那今天自問, 什麼叫做"長相"如a_n*x^n+...+a_0的物件?? 當然我也可以回答說: 唉唷就長的那些阿, 我寫給你看 之類的回答, 但是我就覺得這樣不精確 但是想把它嚴格化時, 卻發現他到底是什麼!? 而其中一個嚴格化的方向是把定義成函數, 然後等號採取函數相等 只是這個策略在R的數量是有限時直接fail, 因為係數不唯一 於是乎我就朝另外一個嚴格化的方向想: 自定義元素&自定義等號 所以這篇才會問說這個方向是否是嚴格合法的 目前整合r大的想法, 如果你採取數學公設的基礎是ZFC集合論公設 只要你有自定義集合跟等號時, 在證明他跟集合論公設是相容前 這些自定義的東西都是自爽(?, 或是說接受度因人而異 V大照你的說法, 你是"可以接受"多項式就是多項式, 長相就那樣, 不會不舒服 而即便接受了, 代數課本還是接著定義等號(如你說的什麼叫做長相相等), 因為 群環體代數結構的定義本來就要奠基在有等號的結構 我一開始也欣然接受《他不是函數, 他就長得像那些的寫法的東西》這個說法 然後用這個說法去定義出集合, 也定義出等號 於是我接著想, 既然都可以自定義, 那我也可以像(E2)那樣去就一個 現有的整數集合Z去定義新的等號 也就是說, 如果我接受了代數課本那種自定義R[x]與等號的邏輯, 而且承認他合法 那又是哪條公設or共識去說我在(E2)那樣為Z去定義新等號是不合法的? 而到底合不合法, 目前討論起來我覺得跟我回P大的結論一樣: --------------------------------------------------------- 目前整合r大的想法, 如果你採取數學公設的基礎是ZFC集合論公設 只要你有自定義集合跟等號時, 在證明他跟集合論公設是相容前 這些自定義的東西都是自爽(?, 或是說接受度因人而異 --------------------------------------------------------- 不知道你怎麼看呢? r大你這段推文的"定義"分別是指"長相"的定義還是"等號"的定義呢? 我詳細附註一次看有沒有誤會你的意思: (灰色是我補字, 紅色是疑問) ---------------------------------------------------------- 如果已經都知道多項式"長怎樣"那當然好辦 這裡長相定義的重要性是在：假設(沒有長相定義的話)我有兩個各自用很複雜命題定 義的環元素a,b(沒有長相定義的話還能定義R[x]嗎?) 如果證明的某一步驟中我得到a=b(等號是自定義還是?) 那根據這個定義我便允許在之後的步驟裡寫ax=bx 就算 我根本不知道a,b "長怎樣" 這就是我前面說的這裡的定義只是一個語法層次的"證 明"的遊戲規則 你只是do the proof而不用柏拉圖主義式的認定a,b背 後有個"真正的長相" 所以也才會說這樣的證明是foundation-free ----------------------------------------------------------- 應該說我不太理解這一段推文是在形容下列那一種情形: (1) 定義R[x]中元素的長相 & 定義等號 (2) 定義R[x]但是不定義元素長相(能這樣做!?) & 定義等號 (3) 定義R[x]中元素的長相 & 不定義等號 (4) 定義R[x]但是不定義元素長相(能這樣做!?) & 不定義等號 還是那段推文在表達說不管是(1)~(4)哪個選擇, 如果不能相容於其他數學公設(例如集合公設), 那就只是foundation-free的論證而已? 謝T大分享, 結合你跟r大的分享, 應該就是如下: (1) R[x]確實是自定義元素與等號, 只是他有辦法跟集合論相容 (因為可化約成數列跟數列相等) (2) 我重新定義Z的等號也是可以的, 只是有沒有辦法跟集合論相容就要驗證了 但是自定義等號並且沒證明跟集合論相容時, 對我來說還是有點難接受 因為等號的四公設的第四點: 對所有predicate P, 如果x=y, 我們都有P(x)=P(y) 很難檢查, 或是說很難有大家都認同的檢查方式(? 或許自定義等號這件事情也沒必要遵守等號公設XDD 不過越來越哲學了QQ 以上我同意, 但是跟Z[x]以及ax=bx那邊我不太理解: 照你舉的例子是 a:=sup S, where S := {x€Z│there exist p,q,r>0 s.t. p^x+q^x=r^x} 首先這種 {x€M│x has property P} 形式的集合, 不是依賴於M的等號了嗎 而標準Z現在有等號所以S沒問題 之後你說如果藉由其他理論得到a=b, 這個等號也是標準Z的等號 以上是你舉的例子都沒有矛盾, 但是我不懂你接下來說的跟上面的關係: 《現在這個定義就是在既有的Z理論證明上建立Z[x]的等號的使用方式》 以及《根據此定義, 我寫ax=bx就是合法》 綠色的定義是? 你有定義新東西嗎@@? 紫色的等號是? 還是標準Z的等號@@? 以我的興趣跟涉獵應該到"化約到集合論"就夠了XD 目前聽起來只要能化約到集合論, 就不用自定義等號, 且只要默認集合論那個唯一的等號是對的就好 聽你分享之後, 我目前把合法定義成能化約到集合論, 我就很舒服了( ′-`)y-～ 那邊可能你誤會了, 我是承認R有等號的(因為前提已經說他是Ring) 我所謂的R[x]有沒有定義等號是指有沒有替R[x]這個集合的元素定義等號 歡迎跟謝謝P大分享, 關於wiki你紅框的說法, 正是我在以前不細究就接受的說法 細究後就覺得很不嚴謹: 令P為多項式, 也可以寫成P(X), 但是P(X)不是多項式函數唷, X你不能代入值 接著你要代值的時候, 就可以對任何的x€R去evaluate P(x), 讓P(x)變成多項式函數 就是上面這段很不嚴謹, 因為他界定"多項式與多項式函數"的界線是有沒有代值 但是代值這個字根本沒有定義阿, 以函數f:A→B來說的話, 代值雖然可以這樣定義: (1) 代值前: f, 函數 (2) 代值後: f(x), B中的元素 但是以wiki那段卻是: (i) 代值前: P, 多項式 (ii) 代值後: P(x), 多項式函數(從(2)看來應該是R的函數吧) 總之, 我覺得用"代值"來區分很不精確也沒必要 而也是我不能接受這樣的區別方式才會詢問多項式不是函數, 到底是什麼? 也才有這篇的討論 是的V大, 我單純只是不明白「多項式函數vs多項式」的區別 在這篇問題以前, 我就認為他自定義多項式集合R[x]與自定義等號沒問題, 活了10年 直到最近思考: (1) R[x]裡面的元素a_n*x^n + ...+ a_0不是函數, 那是《什麼》? (2) 他自定義等號耶! 而且是先定義完元素長相並且聲明 有個集合是收集所有這些長相, 然後才定義等號 也就是這兩個問題以及其定義邏輯, 我才會問: (i) 元素/集合不用綁定等號囉? 即 《聲稱某個集合收集怎樣長相的元素》這個動作並不需要等號 而之後再自己去定義等號即可 (ii) 承(i), 那符合怎樣的條件才叫等號, 即等號的定義 而如果採取四大公設等號定義, 如何嚴格的檢查第四點 (iii) 承(i)的順序, 現有的集合我都可以定義新等號囉? 而目前照r大的分享, 只要能化約成ZFC集合論, 就沒有(i)~(iii)的問題 如果不能化約或是還沒證明可以化約, (i)~(iii)合法與否就看個人接受度 畢竟就變成平行於其他數學基礎的語言了 第一次認識到原來自己是"集合論柏拉圖主義者"後援會會長XDDDD 我本來就對於太基礎的哲學覺得走火入魔, 不想碰QQ 只是我特別在意: (1) 既然你給我某個定義, 就要明確, 不能模稜兩可 (2) 某個論述的邏輯是P, 那我用同樣的邏輯來做事也要對 不然就有"為什麼他能這樣做, 我就不能這樣做" (1)就是反映我問的: 都定義了多項式集合R[x]了,他不是函數那是什麼 (2)就是反映我問的: 你都可以自定義等號了, 我為什麼不能 而且在意的原因大部分是我怕我理解錯誤, 算是檢驗自己邏輯的一種方式 另外脫離學界很久了XDD, 會多少碰點數學是因為在業界做訊號處理 而這門學科在工程論文上的嚴謹度...Oh My God 我也很樂於shut up, 背起來超輕鬆! 但是工程上一堆見人說人話, 見鬼說鬼話的 推導以及理由我真的吞不下去( ‵□′)───C＜─___-)||| Hi, T大, 我的回覆同上面回V大那段 V大你的意思是他在定義出這種長相的物件時, 自然就要給相等的定義了? 你覺得都製造出來並且收集成集合R[x]才去定義等號很怪? foundation-less, free這些東西完全沒涉獵@@ 好奇問一下r大: (1) 不同數學基礎間都不相容?(即定義自己的系統和公理後) (2) 有沒有可能A系統證明費馬最後定理是對的, 但是B證明是錯的? 還是說整數系統如果相容於A系統, 那B系統就不可能有整數系統? c大你這段就是在說R[x]是定義成收集所有infinite sequence of R, 而>=某項後都是0 而等號就是採用數列的等號 如果是這樣的話沒問題! 跟R[x]的嚴格化定義是一致的 對, 這就是標準的equivalence relation跟equivalence class 而且"[a]=[b]"的這個等號本來就有定義(集合的等號) 先嚴格的寫下符號: (Z , =): 皮亞諾公設定義出來的Z以及集合的等號"=" (Z/nZ, =): 對於a,b€Z, 藉由定義a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等號 我對(E2)的問題是, 我能不能做以下這件事: (Z, @): "@"是我定義的新等號, where a@b := a~b 目前的答案結論是: (1) 可以, 因為可以化約成(Z/nZ, =)的語言 (2) 如果沒有檢驗(1), 那也可以, 只是就是平行集合論的數學語言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 沒必要自找麻煩寫成(Z, @) 只是我後來發現有理數的表示與等號根本就是(E2)的問題阿 我們不會寫" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接寫1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)寫成(Z, @)也可以吧? 只要有共識就好了 relation-free跟其他代數名稱完全沒涉獵就先不回應了, 謝謝! 你講的"第四點"是指說等號公設第四點? 經過V大的推文我再去重看wiki, 發現第四點是萊布尼茲對於等號的定義 所以如果定義出一個符號"="要說他是等號的話, 照定義不就是要檢查所有的predicate? 欸V大你說的"很大的字串集合/等價關係除掉/direct sum/(0,1,0,0,...)稱作x..." 這些東西有reference可以參考嗎? 第一次看到這定義所以對你說的"直觀卻很麻煩"沒有感覺@@ a大你的回應是認同我回c大的那樣嗎? 即可以自定義等號 複製如下: --------------------------------------------- (Z , =): 皮亞諾公設定義出來的Z以及集合的等號"=" (Z/nZ, =): 對於a,b€Z, 藉由定義a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等號 我對(E2)的問題是, 我能不能做以下這件事: (Z, @): "@"是我定義的新等號, where a@b := a~b 目前的答案結論是: (1) 可以, 因為可以化約成(Z/nZ, =)的語言 (2) 如果沒有檢驗(1), 那也可以, 只是就是平行集合論的數學語言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 沒必要自找麻煩寫成(Z, @) 只是我後來發現有理數的表示與等號根本就是(E2)的問題阿 我們不會寫" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接寫1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)寫成(Z, @)也可以吧? 只要有共識就好了 --------------------------------------------- 集合論的等號會符合四個等號公設是OK的! 我所謂要檢查是如果自定義等號的話: (1) 可以嗎 (2) 如何檢查(Q2)-(4) 確實在集合論中其中一個Path是: (1) 只有一個等號"=" (2) 其他的就是equivalence relation "~" 只是承你說的"其他的等號 都只是自定義的 equivalence relation" 我(E2)就是在討論這件事情: 我們《能不能說(2)的"~"是一個自定義等號》 假設可以的話, 首先我不知道如何檢查(Q2)-(4) 再來針對"能不能, 需不需要"的討論就是我回覆c大的, 複製過來: --------------------------------------------- (Z , =): 皮亞諾公設定義出來的Z以及集合的等號"=" (Z/nZ, =): 對於a,b€Z, 藉由定義a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等號 我對(E2)的問題是, 我能不能做以下這件事: (Z, @): "@"是我定義的新等號, where a@b := a~b 目前的答案結論是: (1) 可以, 因為可以化約成(Z/nZ, =)的語言 (2) 如果沒有檢驗(1), 那也可以, 只是就是平行集合論的數學語言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 沒必要自找麻煩寫成(Z, @) 只是我後來發現有理數的表示與等號根本就是(E2)的問題阿 我們不會寫" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接寫1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)寫成(Z, @)也可以吧? 只要有共識就好了 --------------------------------------------- 這文字上當然可以接受, 至少在我詢問R[x]到底是什麼之前都是這麼接受的XD 只是問了之後, 就有寫在樓下P大的那兩個分支討論 對阿, 只是會有這個討論就是我認為代數課本還有WIKI上的多項式的定義怪怪的 (1) 如果不怪, 那我也可以自定義等號囉 (2) 如果怪, 那又是什麼 所以才會有針對(1), (2)的一堆討論XD 因為原本我是照粗淺的定義: (1) x屬於S := 存在s屬於S 使得 x=s (2) A包含B := 對於所有的b€B, 都存在a€A 使得 b=a (3) 子集 := blabla (4) 元素個數 := blabla 但是之後我發現(1)中根本循環定義, 因此開始追本溯源 即便以集合論為基底, 根本也沒有"屬於"的定義 查了一些資料, 目前最能接受的是: 集合公設裡面的"屬於"只是一個符號(雖然意義上代表元素裡面的成員) 而這個符號具有怎樣的性質, 就是其他公設所賦予的 舉例來說為什麼" x€{x} "是對的, 因為他有給定€這個符號以及axiom of pairing =====================P幣結算================================================= 不好意思因為身家有限, 之後討論的版友就不答謝P幣了 以下名單與金額是我用稅後總額3000加入四個條件去計算的: (1) 照推/→文行數的比例分總額 (2) 小於100的給100 (3) 大於1000的給1000 (4) xcycl大以回文的方式, 算30行 名單與金額(稅後): LimSinE: 100 recorriendo: 1000 PPguest: 272 Vulpix: 415 FanFlyAway: 100 TimcApple: 286 TassTW: 100 cmrafsts: 286 a23200674: 100 xcycl: 429 謝謝大家的分享與討論~^^ ============================================================================= 我是很不喜歡把問題歸類到"接受度"的層面, 因為長久以來我認為有明確定義的東西 無關接受度, 只有對錯之分 而今天"多項式a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n"到底是什麼, 讓我有接受度的疑義 因此我才會認為是定義我沒搞清楚, 所以才會想問他是《什麼》 回頭來說"(a0,a1,a2,...,an)和a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n"這件事 我會覺得大多數定義還是寫成右邊是為了"保留有代值的空間" 但是一開始就說他可以代值, 又會變成函數 所以才會有語言敘述上的模糊地帶 (定義上是左邊tuple/sequence, 但是隨時會當成function) 至於自定義等號這件事情我還是覺得有耶 (1) 以(a0,a1,a2,...,an)來看: (i)以ZF集合論來看: 就只有唯一的等號, 而數列是函數, 函數相等的定義所採用的 的等號就是ZF集合論那個等號 (ii) 以"符號"來看: 兩個tuple相等單純就自己定義成是每一項相等 (2) 以a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n來看: (i) 化約成ZF集合論, 即回到(1)-(i) (ii) 以"符號"來看: 兩個多項式相等單純就自己定義成是每一項相等 欸欸誤會啦, 我反而是認同你問我"是否無法接受", 所以我才說這已經是接受度的問題了 而我本身不喜歡接受度的問題就是如上面說的, 在我的邏輯中, 如果都嚴格定義也接受 了這個定義, 那後續就只剩對錯, 無關接受度了 而今天這系列問題是在我自行思考"多項式到底是什麼"時, 竟然會回推到接受度的問題, 就是一堆"這樣寫合不合法", "我能這樣定義嗎"的問題 而這些思考結果自然會讓我檢討"是不是我哪裡搞錯/複雜了" 至於上面(2)-(i)要表達的是在我接受"能化約成ZF集合論就是正確的"這個事實的話 那(2)-(i)的脈絡就OK 不過現在我也能接受(2)-(ii)了XDDDD 反正討論下來大部分都是要細究數學建構, 邏輯論 之類的, 我本來就沒涉獵只是閱讀而已, 就接受很OK ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 11/23/2021 00:47:20