如题这个问题, 以前是我觉得走火入魔/哲学才会问的问题... 但是最近遇到(E1),(E2)两个例子的矛盾让我不得不严格对待下列问题: ===== 可先看後面的例子(E1), (E2)就知道为什麽会问以下问题 ====== (Q1) 给定一个集合後, 可以不给等号的吗? 换句话说, 一个集合可以给不同的等号吗? 如果可以, 等号不唯一罗!? (Q2) 要回答Q1的话, 必须知道等号的定义是什麽? wiki是说等号会满足四个性质(但也没说这是等号的定义): (1) x=x (2) if x = y then y = x (3) if x = y, y = z then x = z (4) if x = y then for any predicate P, we have P(x) = P(y) 姑且当上面这四点是等号的定义好了, 但是(4)要如何检查... 而有reference是把(4)写成"for any function" 但是我觉得不恰当, 因为function的定义要先有集合的等号定义, 不然会循环定义 因此假设(4)可以检查好了, 我们就可以随便给定集合後, 去定义在这集合上面的 等号, 只要他满足(1)~(4)即可? (Q3) 如果Q1对, 这样看起来是给了集合才给了等号, 但是对於《0.5不属於Z》这句话 就矛盾了, 因为如果等号只定义在Z, 根本无法规范0.5是否在Z里面 我的意思是, 要说一个元素x有没有属於一个集合S, 前提要是有个等号是可以比较 {x}联集S的所有元素吗? 但是联集本身又涉及等号定义... Q3目前怎麽想怎麽卡...充满一堆不精确的矛盾语言 (Q4) 不管在群,环,体,向量空间...这些带有特定结构的集合S 他们的定义中一定有出现等号, 是不是逻辑上就是假设S上具有一个等号 , 即此等号具有Q2的(1)~(4) 今天如果这些结构集合是拿已经定义完的N, Z, Q, R, C...这些集合, 当然没问题 但是如果是 S:={西瓜, 水果, ptt}, 我们就必须定义这些元素是什麽, 然後再定义 等号, 运算, 之後才能说(S, =, op)是某种结构吧? ================================================================ (E1) 在Herstein的代数中定义多项式环时, 他有先定义两个多项式相等为系数相等 这代表Q1跟Q2的答案是肯定的罗? 也就是说, 顺序如下: (1) 先写出一个集合R[x]叫做多项式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件 (2) R[x]的存在性目前不涉及等号, 只是如果我们如果要讨论 《属於, 包含, 子集, 元素个数...》这些名词的话, 就要先定义等号, 因此这里采取"系数相等"为R[x]的等号定义 (3) 去证明这个等号定义符合Q2的(1)~(4) 如果严格说来是这样没错, 那怎麽证明Q2的(4)? 如果不是这样, 那又是如何呢? (E2) Z = {所有整数}, 我们可以由皮亚诺公设与ZF公设去说他已经有等号了 像是 1 != 2, 1 = 1... 接着考虑equivalence relation的话, x,y€Z, x~y iff x-y is even 就可以定义 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y} 然後藉由集合的相等定义来当作Z_2的等号, 因此#Z_2 = 2 所以目前的逻辑跟(E1)一致: (1) 定义出Z_2 (2) 定义等号为集合相等 且默认集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的 但是今天我能不能这样做: (1) 在Z上定义新的等号叫作"%", 定义为: x,y€Z, x%y iff x-y is even (2) 证明%符合Q2的(1)~(4) 然後说Z在%的等号定义下#Z=2 可能有人会说《%根本就是~》, 但是我会举这个例子是要跟(E1)对比: 【如果R[x]的等号是需要定义的, 那我为什麽不能在Z上重新定义等号】 --------------------------------------------------------------------------- 总之, 这些牵扯到哲学, 逻辑公设, 公设...的东西我本来就不想钻 但是目前我解决不了(E1)与(E2)的矛盾... 还是要解决矛盾就真的要碰这些... 这些问题如果有确切答案的话, 再请版友告知 如果单纯分享想法也欢迎, google到的reference也是大多是"分享" 好像没有严格定义说这些答案是什麽... 谢谢帮忙~ 再依分享人数量力回馈P币, 感恩~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1637264455.A.B9B.html peano跟ZF都直接承认, 所以没有怀疑过XDD 所以在用集合论当作基础下, 自己定义等号是合法的, 或是说没有一致的定义说你错, 直 到别人发现你这个等号自相矛盾(见下(E3))之前你都是对的? 所以(E1), (E2)都是合法的 , 可以在Z定义新等号? (E3) 在Z定义新等号为: x@y iff x*y = 0 然後发现"@"不满足递移性, 即x=1, y =0, z = 2时, 我们有x@y且y@z但是x!@z 从(E3)可见自定义等号非常危险, 所以能尽量不这麽做就不这样做, 像是(E2)能用equiva lence relation就用, 不要去新定义等号, 而(E1)的自定义等号严格算起来到现在都没错 误(因为照r大你说的目前没有公认的定义)所以就用到现在? 另外(E1)跟朋友讨论起来可以用ring的sequence来定义polynomial来避开自定义等号的问 题, 因为sequence是function, 而函数有集合论的定义, 我集合论又送你等号, 所以结合 r大你的说法, 这算是一种完善(E1)的方式了? 意思是说, 我采用集合论构造的Z的话, 就没必要定义新的等号? 那如果我真的要像(E2)那样为Z定义新等号, 其实是合法的, 只是有风险? 另外想问一下r大, 我最终想要得到的答案/看法是为什麽: (E1)的R[x]要自己定义等号, (E2)的Z不用 这个问题的答案是什麽呢? 是否是: (E1)的等号是尚未定义, 所以一定要定义 (E2)的等号已经有公设的集合等号可以用, 没必要定义新等号, 要新定义也可以, 风险自负 也就是说在集合论下(E1),(E2)都可以有沿用公设等号, 不用定义等号的定义方式 因此也没必要承担自己定义等号所带来的风险 而"到底能不能自定义等号", 理论上符合等号公设那四点就可以 只是第四点很难有大家都接受的检查方法, 因此尽量避开自定义等号 举例来说, 今天如果我自定义集合与等号後证明了某个猜想 而这个证明过程目前没办法用集合论/公设整套改写取代 那这个证明就是有人接受, 有人不接受的哲学问题了? 上述这三段如果都跟r大的想法是一致的话, 那我就没问题了 再请你check一下~感恩 P大V大, 原本我也直观的认为等号就是相同, 一切都没有问题 但是直到遇到多项式环R[x]的矛盾解释, 让我的直观受到冲击: R[x]里面的元素是函数吗? (1) 是: 那直接拿函数的等号当等号的话, 在#R是finite时, 会遇到系数不唯一的问题 要解决这问题就必须重新定义等号, 但是从这篇讨论又觉得自定义等号很危险 (2) 否: 那到底是什麽? 而即便说不是函数, 而是一些"长相"如a_n*x^n+...+a_0的物件时 接着像代数教科书去定义等号为系数相等, 为什麽他这里就能自定义等号? 总之, 如果有直观上的解释去回答《R[x]里面的元素是函数吗?》 我也不想碰自定义等号这个问题... 但是现况是R[x]确实自定义等号了, 我才会好奇说什麽时候可以自定义等号 P.S. R[x]可以用数列来避开自定义等号, 或许是目前的解答? 理解! 我也觉得话约成一套公认的基础来保证相融很重要 所以综合r以上说的这些, 代数课本可以自定义R[x]的等号, 就是因为 他可以化约成数列, 而数列是函数, 函数又有集合论定义, 因此是相融的 假设今天R[x]与其等号没有人可以化约成集合论语言, 那等於多项式环的理论 跟其他理论是不能相容的? (期待答案: yes) 意思是, 数学家在定义R[x]与其等号时, 早就考虑过可以化约成集合论语言, 所以才放心的研究下去? (期待答案: yes) 你跟1楼的L大以及V大提的点, 我去看wiki的ZF axiom的extensionality, 节录出两个点 <定义> x,y有相同元素 := for any z, (z€x<=>z€y) Axiom of extensionality: (1) 如果目前有等号定义: 若x,y有相同元素, 则x=y (2) 如果目前没有等号定义: 在定义等号为你说的那样後, 回到(1) 也就是说, 从(1)看来, ZF公设是允许这个系统内本身就有《属於跟等号》 只是不知道如果已经有等号的情况下, 你又定义等号为你说的那样 那这两个等号会一样吗@@? 就没细究了 恩恩, 了解了! 整体归纳下来即是: (1)《R[x]的构造与其等号的定义》与集合论是相容的, by 数列与数列相等 (2) 若自定义R[x]内的元素与自定义等号, 可能都没有矛盾, 只是这套"特别的系统" 与其他数学不一定相容, 泛用性与接受度就很低 我想以上两点就是这篇问题的答案了 P大你写的不管是有理数还是(p,q)在我的理解中都有明确定义 你提的"想要讨论的集合到底是什麽", 对我来说也是很重要, 我就是想知道这件事 我的问题就是连这是什麽我都没办法说清楚, 即R[x] 代数与wiki的R[x], 都说是收集"长相"如a_n*x^n+...+a_0的物件 那今天自问, 什麽叫做"长相"如a_n*x^n+...+a_0的物件?? 当然我也可以回答说: 唉唷就长的那些阿, 我写给你看 之类的回答, 但是我就觉得这样不精确 但是想把它严格化时, 却发现他到底是什麽!? 而其中一个严格化的方向是把定义成函数, 然後等号采取函数相等 只是这个策略在R的数量是有限时直接fail, 因为系数不唯一 於是乎我就朝另外一个严格化的方向想: 自定义元素&自定义等号 所以这篇才会问说这个方向是否是严格合法的 目前整合r大的想法, 如果你采取数学公设的基础是ZFC集合论公设 只要你有自定义集合跟等号时, 在证明他跟集合论公设是相容前 这些自定义的东西都是自爽(?, 或是说接受度因人而异 V大照你的说法, 你是"可以接受"多项式就是多项式, 长相就那样, 不会不舒服 而即便接受了, 代数课本还是接着定义等号(如你说的什麽叫做长相相等), 因为 群环体代数结构的定义本来就要奠基在有等号的结构 我一开始也欣然接受《他不是函数, 他就长得像那些的写法的东西》这个说法 然後用这个说法去定义出集合, 也定义出等号 於是我接着想, 既然都可以自定义, 那我也可以像(E2)那样去就一个 现有的整数集合Z去定义新的等号 也就是说, 如果我接受了代数课本那种自定义R[x]与等号的逻辑, 而且承认他合法 那又是哪条公设or共识去说我在(E2)那样为Z去定义新等号是不合法的? 而到底合不合法, 目前讨论起来我觉得跟我回P大的结论一样: --------------------------------------------------------- 目前整合r大的想法, 如果你采取数学公设的基础是ZFC集合论公设 只要你有自定义集合跟等号时, 在证明他跟集合论公设是相容前 这些自定义的东西都是自爽(?, 或是说接受度因人而异 --------------------------------------------------------- 不知道你怎麽看呢? r大你这段推文的"定义"分别是指"长相"的定义还是"等号"的定义呢? 我详细附注一次看有没有误会你的意思: (灰色是我补字, 红色是疑问) ---------------------------------------------------------- 如果已经都知道多项式"长怎样"那当然好办 这里长相定义的重要性是在：假设(没有长相定义的话)我有两个各自用很复杂命题定 义的环元素a,b(没有长相定义的话还能定义R[x]吗?) 如果证明的某一步骤中我得到a=b(等号是自定义还是?) 那根据这个定义我便允许在之後的步骤里写ax=bx 就算 我根本不知道a,b "长怎样" 这就是我前面说的这里的定义只是一个语法层次的"证 明"的游戏规则 你只是do the proof而不用柏拉图主义式的认定a,b背 後有个"真正的长相" 所以也才会说这样的证明是foundation-free ----------------------------------------------------------- 应该说我不太理解这一段推文是在形容下列那一种情形: (1) 定义R[x]中元素的长相 & 定义等号 (2) 定义R[x]但是不定义元素长相(能这样做!?) & 定义等号 (3) 定义R[x]中元素的长相 & 不定义等号 (4) 定义R[x]但是不定义元素长相(能这样做!?) & 不定义等号 还是那段推文在表达说不管是(1)~(4)哪个选择, 如果不能相容於其他数学公设(例如集合公设), 那就只是foundation-free的论证而已? 谢T大分享, 结合你跟r大的分享, 应该就是如下: (1) R[x]确实是自定义元素与等号, 只是他有办法跟集合论相容 (因为可化约成数列跟数列相等) (2) 我重新定义Z的等号也是可以的, 只是有没有办法跟集合论相容就要验证了 但是自定义等号并且没证明跟集合论相容时, 对我来说还是有点难接受 因为等号的四公设的第四点: 对所有predicate P, 如果x=y, 我们都有P(x)=P(y) 很难检查, 或是说很难有大家都认同的检查方式(? 或许自定义等号这件事情也没必要遵守等号公设XDD 不过越来越哲学了QQ 以上我同意, 但是跟Z[x]以及ax=bx那边我不太理解: 照你举的例子是 a:=sup S, where S := {x€Z│there exist p,q,r>0 s.t. p^x+q^x=r^x} 首先这种 {x€M│x has property P} 形式的集合, 不是依赖於M的等号了吗 而标准Z现在有等号所以S没问题 之後你说如果藉由其他理论得到a=b, 这个等号也是标准Z的等号 以上是你举的例子都没有矛盾, 但是我不懂你接下来说的跟上面的关系: 《现在这个定义就是在既有的Z理论证明上建立Z[x]的等号的使用方式》 以及《根据此定义, 我写ax=bx就是合法》 绿色的定义是? 你有定义新东西吗@@? 紫色的等号是? 还是标准Z的等号@@? 以我的兴趣跟涉猎应该到"化约到集合论"就够了XD 目前听起来只要能化约到集合论, 就不用自定义等号, 且只要默认集合论那个唯一的等号是对的就好 听你分享之後, 我目前把合法定义成能化约到集合论, 我就很舒服了( ′-`)y-～ 那边可能你误会了, 我是承认R有等号的(因为前提已经说他是Ring) 我所谓的R[x]有没有定义等号是指有没有替R[x]这个集合的元素定义等号 欢迎跟谢谢P大分享, 关於wiki你红框的说法, 正是我在以前不细究就接受的说法 细究後就觉得很不严谨: 令P为多项式, 也可以写成P(X), 但是P(X)不是多项式函数唷, X你不能代入值 接着你要代值的时候, 就可以对任何的x€R去evaluate P(x), 让P(x)变成多项式函数 就是上面这段很不严谨, 因为他界定"多项式与多项式函数"的界线是有没有代值 但是代值这个字根本没有定义阿, 以函数f:A→B来说的话, 代值虽然可以这样定义: (1) 代值前: f, 函数 (2) 代值後: f(x), B中的元素 但是以wiki那段却是: (i) 代值前: P, 多项式 (ii) 代值後: P(x), 多项式函数(从(2)看来应该是R的函数吧) 总之, 我觉得用"代值"来区分很不精确也没必要 而也是我不能接受这样的区别方式才会询问多项式不是函数, 到底是什麽? 也才有这篇的讨论 是的V大, 我单纯只是不明白「多项式函数vs多项式」的区别 在这篇问题以前, 我就认为他自定义多项式集合R[x]与自定义等号没问题, 活了10年 直到最近思考: (1) R[x]里面的元素a_n*x^n + ...+ a_0不是函数, 那是《什麽》? (2) 他自定义等号耶! 而且是先定义完元素长相并且声明 有个集合是收集所有这些长相, 然後才定义等号 也就是这两个问题以及其定义逻辑, 我才会问: (i) 元素/集合不用绑定等号罗? 即 《声称某个集合收集怎样长相的元素》这个动作并不需要等号 而之後再自己去定义等号即可 (ii) 承(i), 那符合怎样的条件才叫等号, 即等号的定义 而如果采取四大公设等号定义, 如何严格的检查第四点 (iii) 承(i)的顺序, 现有的集合我都可以定义新等号罗? 而目前照r大的分享, 只要能化约成ZFC集合论, 就没有(i)~(iii)的问题 如果不能化约或是还没证明可以化约, (i)~(iii)合法与否就看个人接受度 毕竟就变成平行於其他数学基础的语言了 第一次认识到原来自己是"集合论柏拉图主义者"後援会会长XDDDD 我本来就对於太基础的哲学觉得走火入魔, 不想碰QQ 只是我特别在意: (1) 既然你给我某个定义, 就要明确, 不能模棱两可 (2) 某个论述的逻辑是P, 那我用同样的逻辑来做事也要对 不然就有"为什麽他能这样做, 我就不能这样做" (1)就是反映我问的: 都定义了多项式集合R[x]了,他不是函数那是什麽 (2)就是反映我问的: 你都可以自定义等号了, 我为什麽不能 而且在意的原因大部分是我怕我理解错误, 算是检验自己逻辑的一种方式 另外脱离学界很久了XDD, 会多少碰点数学是因为在业界做讯号处理 而这门学科在工程论文上的严谨度...Oh My God 我也很乐於shut up, 背起来超轻松! 但是工程上一堆见人说人话, 见鬼说鬼话的 推导以及理由我真的吞不下去( ‵□′)───C＜─___-)||| Hi, T大, 我的回覆同上面回V大那段 V大你的意思是他在定义出这种长相的物件时, 自然就要给相等的定义了? 你觉得都制造出来并且收集成集合R[x]才去定义等号很怪? foundation-less, free这些东西完全没涉猎@@ 好奇问一下r大: (1) 不同数学基础间都不相容?(即定义自己的系统和公理後) (2) 有没有可能A系统证明费马最後定理是对的, 但是B证明是错的? 还是说整数系统如果相容於A系统, 那B系统就不可能有整数系统? c大你这段就是在说R[x]是定义成收集所有infinite sequence of R, 而>=某项後都是0 而等号就是采用数列的等号 如果是这样的话没问题! 跟R[x]的严格化定义是一致的 对, 这就是标准的equivalence relation跟equivalence class 而且"[a]=[b]"的这个等号本来就有定义(集合的等号) 先严格的写下符号: (Z , =): 皮亚诺公设定义出来的Z以及集合的等号"=" (Z/nZ, =): 对於a,b€Z, 藉由定义a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等号 我对(E2)的问题是, 我能不能做以下这件事: (Z, @): "@"是我定义的新等号, where a@b := a~b 目前的答案结论是: (1) 可以, 因为可以化约成(Z/nZ, =)的语言 (2) 如果没有检验(1), 那也可以, 只是就是平行集合论的数学语言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 没必要自找麻烦写成(Z, @) 只是我後来发现有理数的表示与等号根本就是(E2)的问题阿 我们不会写" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接写1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)写成(Z, @)也可以吧? 只要有共识就好了 relation-free跟其他代数名称完全没涉猎就先不回应了, 谢谢! 你讲的"第四点"是指说等号公设第四点? 经过V大的推文我再去重看wiki, 发现第四点是莱布尼兹对於等号的定义 所以如果定义出一个符号"="要说他是等号的话, 照定义不就是要检查所有的predicate? 欸V大你说的"很大的字串集合/等价关系除掉/direct sum/(0,1,0,0,...)称作x..." 这些东西有reference可以参考吗? 第一次看到这定义所以对你说的"直观却很麻烦"没有感觉@@ a大你的回应是认同我回c大的那样吗? 即可以自定义等号 复制如下: --------------------------------------------- (Z , =): 皮亚诺公设定义出来的Z以及集合的等号"=" (Z/nZ, =): 对於a,b€Z, 藉由定义a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等号 我对(E2)的问题是, 我能不能做以下这件事: (Z, @): "@"是我定义的新等号, where a@b := a~b 目前的答案结论是: (1) 可以, 因为可以化约成(Z/nZ, =)的语言 (2) 如果没有检验(1), 那也可以, 只是就是平行集合论的数学语言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 没必要自找麻烦写成(Z, @) 只是我後来发现有理数的表示与等号根本就是(E2)的问题阿 我们不会写" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接写1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)写成(Z, @)也可以吧? 只要有共识就好了 --------------------------------------------- 集合论的等号会符合四个等号公设是OK的! 我所谓要检查是如果自定义等号的话: (1) 可以吗 (2) 如何检查(Q2)-(4) 确实在集合论中其中一个Path是: (1) 只有一个等号"=" (2) 其他的就是equivalence relation "~" 只是承你说的"其他的等号 都只是自定义的 equivalence relation" 我(E2)就是在讨论这件事情: 我们《能不能说(2)的"~"是一个自定义等号》 假设可以的话, 首先我不知道如何检查(Q2)-(4) 再来针对"能不能, 需不需要"的讨论就是我回覆c大的, 复制过来: --------------------------------------------- (Z , =): 皮亚诺公设定义出来的Z以及集合的等号"=" (Z/nZ, =): 对於a,b€Z, 藉由定义a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等号 我对(E2)的问题是, 我能不能做以下这件事: (Z, @): "@"是我定义的新等号, where a@b := a~b 目前的答案结论是: (1) 可以, 因为可以化约成(Z/nZ, =)的语言 (2) 如果没有检验(1), 那也可以, 只是就是平行集合论的数学语言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 没必要自找麻烦写成(Z, @) 只是我後来发现有理数的表示与等号根本就是(E2)的问题阿 我们不会写" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接写1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)写成(Z, @)也可以吧? 只要有共识就好了 --------------------------------------------- 这文字上当然可以接受, 至少在我询问R[x]到底是什麽之前都是这麽接受的XD 只是问了之後, 就有写在楼下P大的那两个分支讨论 对阿, 只是会有这个讨论就是我认为代数课本还有WIKI上的多项式的定义怪怪的 (1) 如果不怪, 那我也可以自定义等号罗 (2) 如果怪, 那又是什麽 所以才会有针对(1), (2)的一堆讨论XD 因为原本我是照粗浅的定义: (1) x属於S := 存在s属於S 使得 x=s (2) A包含B := 对於所有的b€B, 都存在a€A 使得 b=a (3) 子集 := blabla (4) 元素个数 := blabla 但是之後我发现(1)中根本循环定义, 因此开始追本溯源 即便以集合论为基底, 根本也没有"属於"的定义 查了一些资料, 目前最能接受的是: 集合公设里面的"属於"只是一个符号(虽然意义上代表元素里面的成员) 而这个符号具有怎样的性质, 就是其他公设所赋予的 举例来说为什麽" x€{x} "是对的, 因为他有给定€这个符号以及axiom of pairing =====================P币结算================================================= 不好意思因为身家有限, 之後讨论的版友就不答谢P币了 以下名单与金额是我用税後总额3000加入四个条件去计算的: (1) 照推/→文行数的比例分总额 (2) 小於100的给100 (3) 大於1000的给1000 (4) xcycl大以回文的方式, 算30行 名单与金额(税後): LimSinE: 100 recorriendo: 1000 PPguest: 272 Vulpix: 415 FanFlyAway: 100 TimcApple: 286 TassTW: 100 cmrafsts: 286 a23200674: 100 xcycl: 429 谢谢大家的分享与讨论~^^ ============================================================================= 我是很不喜欢把问题归类到"接受度"的层面, 因为长久以来我认为有明确定义的东西 无关接受度, 只有对错之分 而今天"多项式a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n"到底是什麽, 让我有接受度的疑义 因此我才会认为是定义我没搞清楚, 所以才会想问他是《什麽》 回头来说"(a0,a1,a2,...,an)和a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n"这件事 我会觉得大多数定义还是写成右边是为了"保留有代值的空间" 但是一开始就说他可以代值, 又会变成函数 所以才会有语言叙述上的模糊地带 (定义上是左边tuple/sequence, 但是随时会当成function) 至於自定义等号这件事情我还是觉得有耶 (1) 以(a0,a1,a2,...,an)来看: (i)以ZF集合论来看: 就只有唯一的等号, 而数列是函数, 函数相等的定义所采用的 的等号就是ZF集合论那个等号 (ii) 以"符号"来看: 两个tuple相等单纯就自己定义成是每一项相等 (2) 以a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n来看: (i) 化约成ZF集合论, 即回到(1)-(i) (ii) 以"符号"来看: 两个多项式相等单纯就自己定义成是每一项相等 欸欸误会啦, 我反而是认同你问我"是否无法接受", 所以我才说这已经是接受度的问题了 而我本身不喜欢接受度的问题就是如上面说的, 在我的逻辑中, 如果都严格定义也接受 了这个定义, 那後续就只剩对错, 无关接受度了 而今天这系列问题是在我自行思考"多项式到底是什麽"时, 竟然会回推到接受度的问题, 就是一堆"这样写合不合法", "我能这样定义吗"的问题 而这些思考结果自然会让我检讨"是不是我哪里搞错/复杂了" 至於上面(2)-(i)要表达的是在我接受"能化约成ZF集合论就是正确的"这个事实的话 那(2)-(i)的脉络就OK 不过现在我也能接受(2)-(ii)了XDDDD 反正讨论下来大部分都是要细究数学建构, 逻辑论 之类的, 我本来就没涉猎只是阅读而已, 就接受很OK ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 11/23/2021 00:47:20