※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言： : 2.若直線 y = (1/m)x 與 : x = 4[t/π]-2cos(t-[t/π]π),t屬於實數 : 曲線 { : y = 2|sint| : 共有101個相異交點,其中m為正整數,[x]為小於或等於x的最大整數 : 則 m = ___ : 要麻煩各位高手解題,謝謝 注意到 t-[t/π]π 其實就只是「t 除以π的『餘數』」 以及 |sin t| 的週期也是 π 因此可以知道在一個長度為π的週期裡 x 是一個常數減去 2cos, y 是 2sin 由於 |sin t| 的週期性, 實際上的角度也可以當成是「t 除以π的『餘數』」 所以這 cos 和 sin 的角度是一樣的, 差別只在 cos 取負數 因此它所描繪的是一個半圓 圓心在 (4[t/π], 0), 半徑為 2, 且是 y 座標為正的上半圓 (因為是取 0 到π為週期, cos 取負的影響就只有這個圓是由左畫到右 而不是照一般的上半圓由右向左畫而已) 因此這曲線其實就是連續地在 x 軸上互相貼著排成一排的半徑為 2 的許多上半圓: https://i.imgur.com/l6XH0jP.png 現要找一條通過原點的直線和這一群半圓交 101 個點 (上圖紅線) 由於有個半圓圓心在原點, 直線和這個半圓只交一點 剩下的 100 個交點都在其右, 和每個半圓各交兩點 因此這條直線恰和接下來右邊 50 個半圓各交兩點 也就是說, 和圓心在 (200, 0) 的半圓有相交, 但和圓心在 (204, 0) 的半圓不相交 為找出這個範圍, 考慮和這兩個半圓相切的斜率: https://i.imgur.com/QHyo8GI.png 切圓心在 (200, 0) 的圓之直線斜率是 tanθ = 2 / √(200^2-2^2) = 1/√(101*99) 同理, 切圓心在 (204, 0) 的圓之直線斜率是 2 / √(204^2-2^2) = 1/√(103*101) 所以所求的斜率 1/m 有 1/√(101*99) > 1/m > 1/√(103*101) 倒數回來再平方可得 101*99 < m^2 < 103*101 易知 101*99 < 100^2 < 101^2 < 103*101 < 102^2 故本題有兩解: 100 和 101 -- ◢ ˊ_▂▃▄▂_ˋ. ◣　　　　　 　　　　▅▅　▅▅　ι●╮　　 █▄▄▄▄▄ ▍./◤_▂▃▄▂_◥ \'▊ 　　ＨＡＲＵＨＩ █████　＜■┘ 　 ▄▄▄▄▄▄▄ ▎⊿ ◤◤◥█◥◥█Δ 　　ＩＳＭ　 　　By-gamejye　￠|\ 　　▌▌▌▌▌▄▌▌ ▏ζ(▏●‵◥′●▊)Ψ ▏　　 　　　 　　　　█　　　 ⊿Δ 　　▄▄▄ ▄▄▄▄ █/|▊ 〃 、 〃▋ |\ ▎　　　　　 　 　ハルヒ主義　　　 　　█▄▄▄█▄▄ ◥◥|◣ ‵′ ◢/'◢◢S.O.S 世界を大いに盛り上げるための涼宮ハルヒの団　　　 --

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