※ 引述《adamchi (adamchi)》之铭言： : 2.若直线 y = (1/m)x 与 : x = 4[t/π]-2cos(t-[t/π]π),t属於实数 : 曲线 { : y = 2|sint| : 共有101个相异交点,其中m为正整数,[x]为小於或等於x的最大整数 : 则 m = ___ : 要麻烦各位高手解题,谢谢 注意到 t-[t/π]π 其实就只是「t 除以π的『余数』」 以及 |sin t| 的周期也是 π 因此可以知道在一个长度为π的周期里 x 是一个常数减去 2cos, y 是 2sin 由於 |sin t| 的周期性, 实际上的角度也可以当成是「t 除以π的『余数』」 所以这 cos 和 sin 的角度是一样的, 差别只在 cos 取负数 因此它所描绘的是一个半圆 圆心在 (4[t/π], 0), 半径为 2, 且是 y 座标为正的上半圆 (因为是取 0 到π为周期, cos 取负的影响就只有这个圆是由左画到右 而不是照一般的上半圆由右向左画而已) 因此这曲线其实就是连续地在 x 轴上互相贴着排成一排的半径为 2 的许多上半圆: https://i.imgur.com/l6XH0jP.png 现要找一条通过原点的直线和这一群半圆交 101 个点 (上图红线) 由於有个半圆圆心在原点, 直线和这个半圆只交一点 剩下的 100 个交点都在其右, 和每个半圆各交两点 因此这条直线恰和接下来右边 50 个半圆各交两点 也就是说, 和圆心在 (200, 0) 的半圆有相交, 但和圆心在 (204, 0) 的半圆不相交 为找出这个范围, 考虑和这两个半圆相切的斜率: https://i.imgur.com/QHyo8GI.png 切圆心在 (200, 0) 的圆之直线斜率是 tanθ = 2 / √(200^2-2^2) = 1/√(101*99) 同理, 切圆心在 (204, 0) 的圆之直线斜率是 2 / √(204^2-2^2) = 1/√(103*101) 所以所求的斜率 1/m 有 1/√(101*99) > 1/m > 1/√(103*101) 倒数回来再平方可得 101*99 < m^2 < 103*101 易知 101*99 < 100^2 < 101^2 < 103*101 < 102^2 故本题有两解: 100 和 101 -- ◢ ˊ_▂▃▄▂_ˋ. ◣　　　　　 　　　　▅▅　▅▅　ι●╮　　 █▄▄▄▄▄ ▍./◤_▂▃▄▂_◥ \'▊ 　　ＨＡＲＵＨＩ █████　＜■┘ 　 ▄▄▄▄▄▄▄ ▎⊿ ◤◤◥█◥◥█Δ 　　ＩＳＭ　 　　By-gamejye　￠|\ 　　▌▌▌▌▌▄▌▌ ▏ζ(▏●‵◥′●▊)Ψ ▏　　 　　　 　　　　█　　　 ⊿Δ 　　▄▄▄ ▄▄▄▄ █/|▊ 〃 、 〃▋ |\ ▎　　　　　 　 　ハルヒ主义　　　 　　█▄▄▄█▄▄ ◥◥|◣ ‵′ ◢/'◢◢S.O.S 世界を大いに盛り上げるための凉宫ハルヒの団　　　 --

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