想請問一下對於任何正整數N, 為什麼下列式子恆成立: N-1 k+1 Σ (-1)^k * C(N+1, k+1) * (1-───)^N = 1 k=0 N+1 ============================================== 不符合二項式定理的形式後我怎麼試都湊不出來QQ (1-(k+1)/(N+1))^N 找不到方法拆出來... 謝謝幫忙! --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1636567171.A.4F9.html 我有想過 (x+y)^n = Σ_{k=0~n} C(n,k) * x^k * y^(n-k) = Σ_{k=0~n} C(n,k) * (x/y)^k * y^n 但是今天y裡面有k就很怪, 不能套二項式定理 可是除了這個目前沒其他想法@@ 怎麼證明上式...我怎麼對這個恆等式沒印象QQ V大是指哪項減哪項阿@@? 真的耶 好酷 https://www.desmos.com/calculator/pdm2ndjqnl 是喔! 那這個性質應該可以得到一些蛛絲馬跡 而且我發現n太大時不能用desmos網頁數學模擬XD 你的 Σ{h=0~M} (-1)^h * C(M,h) * h^(M-1)=0 在M=15時就超過雙精度的範圍了 跑出了非0的結果, 所以我一開始以為這個式子是錯的 後來用python對於int可以不受限於64位元才保證確實你的式子是對的XD 我目前努力的方向跟L那個好像有關係, 算是結合L大跟p大的結果: For any n>=2 n Let h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, for all 1<=m<=n-1 k=0 Then h_m(x) = 0 for all x€R 也就是說, p大的case是x=0的情形, 但是其實all x€R都對 而這個結果讓我可以用微分, 因此 h_m'(x) = m*h_(m-1)(x) 因此才說跟L大的reference很像 @m大: 幫朋友的朋友算抽卡期望值所發現的XDDDDD ------------------------------------------------------ (整理出要證明的東西了) <Theorem> Let n>=1,m >=0, both integers n define h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, x€R k=0 Then (1) 0<=m<=n-1: h_m(x) = 0 for all x€R (2) m=n: h_m(x) = const != 0 for all x€R (3) m>n: h_m(x) is a polynomial of degree m-n ------------------------------------------------------- 不過剛剛研究了一下發現<Theorem>的成立依賴於h_m(0)的值.... ------------------------------------------------------- 最後發現general form是 n h_m(x,y) := Σ C(n,k) * (k+y)^m * x^k, where x, y€R k=0 <Theorem>只是x=-1的特例, 而要解這個問題就一直微分就好了 ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.71.68 臺灣), 11/12/2021 15:56:36