想请问一下对於任何正整数N, 为什麽下列式子恒成立: N-1 k+1 Σ (-1)^k * C(N+1, k+1) * (1-───)^N = 1 k=0 N+1 ============================================== 不符合二项式定理的形式後我怎麽试都凑不出来QQ (1-(k+1)/(N+1))^N 找不到方法拆出来... 谢谢帮忙! --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1636567171.A.4F9.html 我有想过 (x+y)^n = Σ_{k=0~n} C(n,k) * x^k * y^(n-k) = Σ_{k=0~n} C(n,k) * (x/y)^k * y^n 但是今天y里面有k就很怪, 不能套二项式定理 可是除了这个目前没其他想法@@ 怎麽证明上式...我怎麽对这个恒等式没印象QQ V大是指哪项减哪项阿@@? 真的耶 好酷 https://www.desmos.com/calculator/pdm2ndjqnl 是喔! 那这个性质应该可以得到一些蛛丝马迹 而且我发现n太大时不能用desmos网页数学模拟XD 你的 Σ{h=0~M} (-1)^h * C(M,h) * h^(M-1)=0 在M=15时就超过双精度的范围了 跑出了非0的结果, 所以我一开始以为这个式子是错的 後来用python对於int可以不受限於64位元才保证确实你的式子是对的XD 我目前努力的方向跟L那个好像有关系, 算是结合L大跟p大的结果: For any n>=2 n Let h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, for all 1<=m<=n-1 k=0 Then h_m(x) = 0 for all x€R 也就是说, p大的case是x=0的情形, 但是其实all x€R都对 而这个结果让我可以用微分, 因此 h_m'(x) = m*h_(m-1)(x) 因此才说跟L大的reference很像 @m大: 帮朋友的朋友算抽卡期望值所发现的XDDDDD ------------------------------------------------------ (整理出要证明的东西了) <Theorem> Let n>=1,m >=0, both integers n define h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, x€R k=0 Then (1) 0<=m<=n-1: h_m(x) = 0 for all x€R (2) m=n: h_m(x) = const != 0 for all x€R (3) m>n: h_m(x) is a polynomial of degree m-n ------------------------------------------------------- 不过刚刚研究了一下发现<Theorem>的成立依赖於h_m(0)的值.... ------------------------------------------------------- 最後发现general form是 n h_m(x,y) := Σ C(n,k) * (k+y)^m * x^k, where x, y€R k=0 <Theorem>只是x=-1的特例, 而要解这个问题就一直微分就好了 ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.71.68 台湾), 11/12/2021 15:56:36