作者haveknown (noname)
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標題[中學] 國中幾何證明要寫到多詳細？
時間Wed Nov 10 14:47:57 2021
下面的題目是今年國中會考補考數學科的一題非選題，
其中的彩色圖形是我自己加上去的，以方便討論
https://i.imgur.com/GEDeWwa.png
第(1)小題的解題關鍵是分針一格6度，
4個頂點轉動的角分別為45、135、225、315度，
都不是6的倍數，所以不會有分針刻度在正方形的頂點上。
證明重點應該是說明：
被2對角線以及2條對邊中點連線(紅色線段)分割出的8個角度相同，
所以角1~8都是45度。
這是很直觀的性質，基於正方形各邊地位相等及對稱性等性質，
有很多想法可以得到45度的結論，
比如正方形被2紅色線段分割成4個全等小正方形，
且原對角線也是4個全等小正方形的對角線，
正方形的對角線平分內角，所以角1~8都是90/2=45度。
但這是手寫題，像上面這樣不嚴謹的寫法感覺會被扣分
我想問這個證明要寫到多詳細才不會被扣分？
以第(1)小題為例，下面我試著寫出一個我認為夠詳細的證明的主流程：
1. 證明正方形對邊中點連線平行邊長線段
2. 基於平行線截等比例，可推出正方形對邊中點連線通過對角線中點O
3. 基於同位角相等可知 中心O到邊長中點連線段⊥邊長
4. 正方形對角線等長，且互相垂直平分，將正方形分割成4個等腰直角三角形
5. 等腰直角三角形頂點到底邊的垂直線會平分頂角，所以角1~8都是90/2=45度。
上面這個證法已經直接套用了一些性質，但若要完整寫出來，整體還是覺得非常麻煩，
想請教各位，以盡量不被扣分為原則，
這題的證明可以簡化到什麼程度？(不一定是我上面這個證法)
關鍵點應該是說哪些直觀、顯而易見的性質，可以直接套用，不用再先證明一次
雖然各位不是閱卷老師，不過想聽聽別人的看法，謝謝
附帶再請教2個問題：
Q2. 若圖形有對稱性，可以直接說圖形有對稱性，並拿來作推理證明的基礎嗎？
Q3. 正多邊形從各邊或各角看進去，情況、地位相等(計算時很有用的一個特性)，
這個特性有沒有什麼簡潔名稱？
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1F：推 vacuityhu : 在描述正方形的時候不會用甚麼"各邊地位相等"這種方 11/10 20:30
2F：→ vacuityhu : 式, 正方形的定義就是四邊邊長相等且四角角度相等的 11/10 20:31
3F：→ vacuityhu : 四邊形, 差別在於"地位"這不是well-defined的名詞 11/10 20:32
4F：→ vacuityhu : 邊, 長度,角, 角度這些名詞才是well-defined的東西 11/10 20:33
5F：→ vacuityhu : 寫證明要寫到嚴謹就是從定義出發, 但當然這樣會寫到 11/10 20:34
6F：→ vacuityhu : 很繁瑣, 所以不論是甚麼程度的數學問題證明, 都一定 11/10 20:35
7F：→ vacuityhu : 會為了可讀性而把一些重點結論拉出來歸納成"引理"或 11/10 20:36
8F：→ vacuityhu : 引用其他定理說明 11/10 20:36
9F：→ vacuityhu : 而國中數學其實就是只要課本有教過的基本上都能引用 11/10 20:37
10F：→ vacuityhu : 我自己的經驗是以前國中的時候曾經拿三心(內外重)以 11/10 20:39
11F：→ vacuityhu : 外的垂心和旁心來證過題目, 雖然是被老師挑剔了一下 11/10 20:39
12F：→ vacuityhu : 但整個證明還是正確的最後就還是有拿到分 11/10 20:39
那我重新寫一個證法，看您覺得是否會被扣分？
(1)
連接對角線交點O和正方形邊上的中點，
(直接引用) "等腰三角形 頂角頂點 到 底邊中點 連線會平分頂角"
所以角1~8都是90/2=45度
另外想再請教，點對稱、線對稱算是有well-defined的吧？
若有，在這個基礎上，您覺得能否像下面這樣證
(2)
正方形含2條對角線是一個線對稱圖形，對稱軸為2對邊中點連線
所以角1~8都是90/2=45度
13F：→ FanFlyAway : 利用對角線垂直平分加上SSS來說明會不會比較方便？ 11/10 21:58
感謝回覆，這個證法比我原文中的簡潔多了
14F：推 dragon0147 : 你後來寫的，應該是可以，因為不用特別再說明，為何 11/11 23:46
15F：→ dragon0147 : 會平分頂角 11/11 23:46
那請問您覺得重新寫的證明 (2) 是否有問題？
※ 編輯: haveknown (42.76.251.188 臺灣), 11/12/2021 00:02:36
16F：推 fragmentwing: 2紅色線段分割成小正方形那個不用寫 因為你要的點在 11/12 01:01
17F：→ fragmentwing: 大正方形上 用正方形對角線性質就夠了 11/12 01:01
18F：推 fragmentwing: 正方形對角線過重心應該可以直接用吧? 11/12 01:05
19F：推 fragmentwing: 關於你給的（2）我覺得可以直接描述正方形的對角線 11/12 01:07
20F：→ fragmentwing: 就好 11/12 01:07
21F：→ fragmentwing: 你講對稱軸為2對邊中點連線有機會扣分 因為對稱軸還 11/12 01:09
22F：→ fragmentwing: 有包含2條對角線 11/12 01:09
23F：→ fragmentwing: 所以你乾脆直接講正方形的對角線性質就好，過中點、 11/12 01:11
24F：→ fragmentwing: 切45度角都是正方形對角線的性質 11/12 01:11