作者haveknown (noname)
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标题[中学] 国中几何证明要写到多详细？
时间Wed Nov 10 14:47:57 2021
下面的题目是今年国中会考补考数学科的一题非选题，
其中的彩色图形是我自己加上去的，以方便讨论
https://i.imgur.com/GEDeWwa.png
第(1)小题的解题关键是分针一格6度，
4个顶点转动的角分别为45、135、225、315度，
都不是6的倍数，所以不会有分针刻度在正方形的顶点上。
证明重点应该是说明：
被2对角线以及2条对边中点连线(红色线段)分割出的8个角度相同，
所以角1~8都是45度。
这是很直观的性质，基於正方形各边地位相等及对称性等性质，
有很多想法可以得到45度的结论，
比如正方形被2红色线段分割成4个全等小正方形，
且原对角线也是4个全等小正方形的对角线，
正方形的对角线平分内角，所以角1~8都是90/2=45度。
但这是手写题，像上面这样不严谨的写法感觉会被扣分
我想问这个证明要写到多详细才不会被扣分？
以第(1)小题为例，下面我试着写出一个我认为够详细的证明的主流程：
1. 证明正方形对边中点连线平行边长线段
2. 基於平行线截等比例，可推出正方形对边中点连线通过对角线中点O
3. 基於同位角相等可知 中心O到边长中点连线段⊥边长
4. 正方形对角线等长，且互相垂直平分，将正方形分割成4个等腰直角三角形
5. 等腰直角三角形顶点到底边的垂直线会平分顶角，所以角1~8都是90/2=45度。
上面这个证法已经直接套用了一些性质，但若要完整写出来，整体还是觉得非常麻烦，
想请教各位，以尽量不被扣分为原则，
这题的证明可以简化到什麽程度？(不一定是我上面这个证法)
关键点应该是说哪些直观、显而易见的性质，可以直接套用，不用再先证明一次
虽然各位不是阅卷老师，不过想听听别人的看法，谢谢
附带再请教2个问题：
Q2. 若图形有对称性，可以直接说图形有对称性，并拿来作推理证明的基础吗？
Q3. 正多边形从各边或各角看进去，情况、地位相等(计算时很有用的一个特性)，
这个特性有没有什麽简洁名称？
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1F：推 vacuityhu : 在描述正方形的时候不会用甚麽"各边地位相等"这种方 11/10 20:30
2F：→ vacuityhu : 式, 正方形的定义就是四边边长相等且四角角度相等的 11/10 20:31
3F：→ vacuityhu : 四边形, 差别在於"地位"这不是well-defined的名词 11/10 20:32
4F：→ vacuityhu : 边, 长度,角, 角度这些名词才是well-defined的东西 11/10 20:33
5F：→ vacuityhu : 写证明要写到严谨就是从定义出发, 但当然这样会写到 11/10 20:34
6F：→ vacuityhu : 很繁琐, 所以不论是甚麽程度的数学问题证明, 都一定 11/10 20:35
7F：→ vacuityhu : 会为了可读性而把一些重点结论拉出来归纳成"引理"或 11/10 20:36
8F：→ vacuityhu : 引用其他定理说明 11/10 20:36
9F：→ vacuityhu : 而国中数学其实就是只要课本有教过的基本上都能引用 11/10 20:37
10F：→ vacuityhu : 我自己的经验是以前国中的时候曾经拿三心(内外重)以 11/10 20:39
11F：→ vacuityhu : 外的垂心和旁心来证过题目, 虽然是被老师挑剔了一下 11/10 20:39
12F：→ vacuityhu : 但整个证明还是正确的最後就还是有拿到分 11/10 20:39
那我重新写一个证法，看您觉得是否会被扣分？
(1)
连接对角线交点O和正方形边上的中点，
(直接引用) "等腰三角形 顶角顶点 到 底边中点 连线会平分顶角"
所以角1~8都是90/2=45度
另外想再请教，点对称、线对称算是有well-defined的吧？
若有，在这个基础上，您觉得能否像下面这样证
(2)
正方形含2条对角线是一个线对称图形，对称轴为2对边中点连线
所以角1~8都是90/2=45度
13F：→ FanFlyAway : 利用对角线垂直平分加上SSS来说明会不会比较方便？ 11/10 21:58
感谢回覆，这个证法比我原文中的简洁多了
14F：推 dragon0147 : 你後来写的，应该是可以，因为不用特别再说明，为何 11/11 23:46
15F：→ dragon0147 : 会平分顶角 11/11 23:46
那请问您觉得重新写的证明 (2) 是否有问题？
※ 编辑: haveknown (42.76.251.188 台湾), 11/12/2021 00:02:36
16F：推 fragmentwing: 2红色线段分割成小正方形那个不用写 因为你要的点在 11/12 01:01
17F：→ fragmentwing: 大正方形上 用正方形对角线性质就够了 11/12 01:01
18F：推 fragmentwing: 正方形对角线过重心应该可以直接用吧? 11/12 01:05
19F：推 fragmentwing: 关於你给的（2）我觉得可以直接描述正方形的对角线 11/12 01:07
20F：→ fragmentwing: 就好 11/12 01:07
21F：→ fragmentwing: 你讲对称轴为2对边中点连线有机会扣分 因为对称轴还 11/12 01:09
22F：→ fragmentwing: 有包含2条对角线 11/12 01:09
23F：→ fragmentwing: 所以你乾脆直接讲正方形的对角线性质就好，过中点、 11/12 01:11
24F：→ fragmentwing: 切45度角都是正方形对角线的性质 11/12 01:11