※ 引述《ntpuisbest (阿龍)》之銘言： : 如題 : 魷魚遊戲第五關玻璃橋 : 到達終點總共要經過18塊玻璃 : 而每次的經過都是兩片玻璃二選一 : 選對了就是強化玻璃 : 選錯了就是掉下去 : 假設選對選錯的機率都是二分之一 : 然後選手總共20位好了 : 再假設每位選手都有超凡記憶力 : 都有辦法記得自己前面的人經過哪些玻璃 : 而且可以趨吉避凶 : 那麼在不互相殘殺的狀況下 : 20位選手的期望通關人數是多少呢 : 我覺得這個問題很複雜 : 因為加入了人有記憶性這個條件後 : 感覺只有用程式模擬 : 配合大數法則才有可能算出來? : 但是程式感覺rule也不太好寫 從 Linearity of Expectation 我們可以知道， 20 通關人數的期望值 = Σ P(第 i 位選手安穩地站在第18塊上) i=1 讓隨機變數 X_i 代表第i位選手最終所能安穩站的玻璃 我舉幾個例子方便大家理解： X_1 = 0 的意思是第1位選手死在第1塊玻璃上 X_1 = 2 的意思是第1位選手死在第3塊玻璃上 X_3 = 4 的意思是第3位選手死在第5塊玻璃上 X_5 = 18的意思是第5位選手成功地站在第18塊玻璃上 20 所以通關人數期望值就是 Σ P(X_i=18) i=1 怎麼算這些 P(X_i=x) 呢？ P(X_1=x) = (1/2)^(x+1) , 0<=x<=17 1/2^18 , x =18 0 ,otherwise 幸運的是 X_1,X_2, ... 有 Markovianity，所以可以用下面這方式算出來： P(X_i=x) = Σ P(X_{i-1}=y)P( X_i=x | X_{i-1}=y) 0<=y<=18 對於 i>=2, 我們有 (i) y <= 17 Pr( X_i=x | X_{i-1} = y) = (1/2)^(x-y) , y+1<=x<=17 (1/2)^(17-y) , x = 18 0 , otherwise (ii) y = 18 Pr( X_i=x | X_{i-1} = y) = 1 , x= 18 0 , otherwise 我用程式算出來是 11 。 實際上，這其實只要算到第18個人就可以了。 因為第19跟第20個人從前面的人的結果絕對可以安全通過。 然後我通過計算發現看起來有下面這個情況 for 1<=i<=18 , P(X_i=18) + P(X_{19-i}=18) = 1 弄得更General一點，如果總共有 n 塊玻璃要通過， for 1<=i<=n, P(X_i=n) + P(X_{n+1-i}=n) = 1 如果上面那個猜想是對的，那應該有個不錯的解讀方式可以省下這些計算 這就交給大家想了 -- 因為有大家的支持，才有角卷綿芽的Sololive https://i.imgur.com/CbO6fr2.jpg 直到台灣時間 2021/11/12 (星期五) 下午 9:59 為止都可以在SPWN觀看喔！ SPWN連結：https://spwn.jp/events/21101201-jpwatame --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.135.233 (美國) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1634872344.A.D16.html 你們有誰方便寫一篇用這方式的分析嗎？XD 然後我 Python的程式碼放在這邊，有興趣的可以看看 M = 18 # 玻璃數量 T = 20 # 參加者人數 # 玻璃的數量和參加者人數也可以改成其他的數字 dp = [[0]*(M+1) for _ in range(T+1)] # dp[i][x] = P(X_i=x) for x in range(M): dp[1][x] = 0.5**(x+1) dp[1][M] = 0.5**M for t in range(2,T+1): #calculating dp[t][.] # dp[t][M] for y in range(0,M): dp[t][M] += 0.5**(M-1-y)*dp[t-1][y] dp[t][M] += dp[t-1][M] for x in range(0,M): for y in range(0,x): dp[t][x] += 0.5**(x-y)*dp[t-1][y] result = 0 for t in range(1,T+1): result+=dp[t][M] print(result) 是第一個打錯XD ※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 10/22/2021 14:09:31