※ 引述《ntpuisbest (阿龙)》之铭言： : 如题 : 鱿鱼游戏第五关玻璃桥 : 到达终点总共要经过18块玻璃 : 而每次的经过都是两片玻璃二选一 : 选对了就是强化玻璃 : 选错了就是掉下去 : 假设选对选错的机率都是二分之一 : 然後选手总共20位好了 : 再假设每位选手都有超凡记忆力 : 都有办法记得自己前面的人经过哪些玻璃 : 而且可以趋吉避凶 : 那麽在不互相残杀的状况下 : 20位选手的期望通关人数是多少呢 : 我觉得这个问题很复杂 : 因为加入了人有记忆性这个条件後 : 感觉只有用程式模拟 : 配合大数法则才有可能算出来? : 但是程式感觉rule也不太好写 从 Linearity of Expectation 我们可以知道， 20 通关人数的期望值 = Σ P(第 i 位选手安稳地站在第18块上) i=1 让随机变数 X_i 代表第i位选手最终所能安稳站的玻璃 我举几个例子方便大家理解： X_1 = 0 的意思是第1位选手死在第1块玻璃上 X_1 = 2 的意思是第1位选手死在第3块玻璃上 X_3 = 4 的意思是第3位选手死在第5块玻璃上 X_5 = 18的意思是第5位选手成功地站在第18块玻璃上 20 所以通关人数期望值就是 Σ P(X_i=18) i=1 怎麽算这些 P(X_i=x) 呢？ P(X_1=x) = (1/2)^(x+1) , 0<=x<=17 1/2^18 , x =18 0 ,otherwise 幸运的是 X_1,X_2, ... 有 Markovianity，所以可以用下面这方式算出来： P(X_i=x) = Σ P(X_{i-1}=y)P( X_i=x | X_{i-1}=y) 0<=y<=18 对於 i>=2, 我们有 (i) y <= 17 Pr( X_i=x | X_{i-1} = y) = (1/2)^(x-y) , y+1<=x<=17 (1/2)^(17-y) , x = 18 0 , otherwise (ii) y = 18 Pr( X_i=x | X_{i-1} = y) = 1 , x= 18 0 , otherwise 我用程式算出来是 11 。 实际上，这其实只要算到第18个人就可以了。 因为第19跟第20个人从前面的人的结果绝对可以安全通过。 然後我通过计算发现看起来有下面这个情况 for 1<=i<=18 , P(X_i=18) + P(X_{19-i}=18) = 1 弄得更General一点，如果总共有 n 块玻璃要通过， for 1<=i<=n, P(X_i=n) + P(X_{n+1-i}=n) = 1 如果上面那个猜想是对的，那应该有个不错的解读方式可以省下这些计算 这就交给大家想了 -- 因为有大家的支持，才有角卷绵芽的Sololive https://i.imgur.com/CbO6fr2.jpg 直到台湾时间 2021/11/12 (星期五) 下午 9:59 为止都可以在SPWN观看喔！ SPWN连结：https://spwn.jp/events/21101201-jpwatame --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.135.233 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1634872344.A.D16.html 你们有谁方便写一篇用这方式的分析吗？XD 然後我 Python的程式码放在这边，有兴趣的可以看看 M = 18 # 玻璃数量 T = 20 # 参加者人数 # 玻璃的数量和参加者人数也可以改成其他的数字 dp = [[0]*(M+1) for _ in range(T+1)] # dp[i][x] = P(X_i=x) for x in range(M): dp[1][x] = 0.5**(x+1) dp[1][M] = 0.5**M for t in range(2,T+1): #calculating dp[t][.] # dp[t][M] for y in range(0,M): dp[t][M] += 0.5**(M-1-y)*dp[t-1][y] dp[t][M] += dp[t-1][M] for x in range(0,M): for y in range(0,x): dp[t][x] += 0.5**(x-y)*dp[t-1][y] result = 0 for t in range(1,T+1): result+=dp[t][M] print(result) 是第一个打错XD ※ 编辑: arrenwu (98.45.135.233 美国), 10/22/2021 14:09:31