作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] 實變捲積的存在性證明(Solved)
時間Thu Oct 21 03:32:25 2021
如題請教一下是否下面這件事情很trivial:
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<Property>
若 p€[1,+∞], f€L^p(R^n), g€L^1(R^n)
則 f＊g(x) exists for almost every x€R^n
(特別是p=+∞是處處存在)
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會這樣問是因為Zygmund在(6.14)有敘述到但是沒證明(p=1)
而在(9.1)更是直接把存在性當已知(p€[1,+∞])
而之後去google時查到一份資料
https://sites.math.washington.edu/~hart/m526/Lecture2.pdf
他真的有證明, 順序脈絡如下:
(1) p=1 捲積a.e.存在
(2) p=+∞ 捲積處處存在
(3) 1<p<+∞ 捲積a.e.存在
閱讀之後發現(1), (2)確實簡單, 但是(3)他用到了一個性質:
任何p>=1, L^p的函數都能拆成L^1與L^∞的兩個函數和 ---(●)
這個性質目前在Zygmund找不到, 然後自己有想到一個證明:
令f€L^p(R^n)
令g(x) = f(x)*χ_{|f>1|}, h(x) = f(x)*χ_{|f<=1|}
則g是L^1, h是L^∞ (h甚至是處處<=1)
但是這個證明<Property>的脈絡看起來也不trivial阿....
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總結一下想問的幾個問題:
(1) <Property>是否有trivial的證法(不然Zygmund不太可能這樣帶過)
(2) Zygmund (9.9)
https://imgur.com/ByeNad9 這個定理的證明完全沒有到
K是L^∞, 我猜測這個條件是為了讓捲積
處處存在, 不然f的連續點x如果
剛好捲積不存在就糗了, 所以我覺得Zygmund應該有考慮到這件事, 剛好呼應那份
pdf所述
(3) Stein的
https://imgur.com/uBK5Occ 21.-(c)的敘述,
竟然只要f, g是可測函數就能確保捲積a.e.存在...這是錯的吧!?
反例: f(x) = 1, x€rational
-1, x€irraational
g(x) = 1, x€R
則f, g都是可測函數, 但是f＊g(x)處處不存在
謝謝幫忙~
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1F：→ lala840819 : 你可以試試把h(x)=|f(y)g(x-y)| 寫成 |f(y)||g(x-y)10/21 10:31
2F：→ lala840819 : |^(1/p)|g(x-y)|^(1/q)然後用Holder Inequality 估10/21 10:31
3F：→ lala840819 : 計，再用這個估計去估計h的Lp norm 你會發現是有限10/21 10:31
4F：→ lala840819 : 的， 所以h is well-defined a.e.10/21 10:31
5F：推 lala840819 : 更正一下，h(x)是|f(y)g(x-y)|對y積分10/21 10:36
l大你這邊的邏輯是不是:
若|F|的積分有限, 則F welldefined a.e.
這樣是錯的吧...函數要先a.e.有定義才能討論積分不是嗎, 這也是為什麼我覺得Zygmund
直接把卷積函數拿來積分覺得怪怪的, 因為要先確定卷積函數的存在性
6F：推 lala840819 : 卷積是某函數積分，若積分存在則卷積存在。所以要看 10/21 22:52
7F：→ lala840819 : 積分是不是存在就直接掛絕對值估計這個積分，因為非 10/21 22:52
8F：→ lala840819 : 負函數都可以算積分，所以掛絕對值後不用擔心存在性 10/21 22:52
9F：→ lala840819 : 問題，只需要估計這個積分會不會是有限的。 10/21 22:52
完全同意, 也就是因為這樣才會有最後那個三個問題, Zygmund覺得trivial所以沒證
還是說真的有更trivial的方式去證明存在性...
10F：→ willydp : 我覺得沒寫是因為真的很簡單, 有點分析經驗的應該懂 10/21 23:13
11F：→ willydp : 可積性出問題，不是某處增長太快，就是遠處衰退太慢 10/21 23:13
12F：→ willydp : L^p之間包含的關係也可以用這二點來看 10/21 23:15
w大你說的這兩點確實就是我證明p>=1的L^p能分解成L^1+L^∞的思路
只是從以前唸Zygmund到現在, 存在性他都很care都會說, 只是證明簡單的話就會
留做exercise
但是對於捲積卻什麼都沒說, 我就在想到底是它有多麼trivial的看法
還是證明就是像我說的reference那樣證, 然後他認為這個證明太trivial了就當默認存在
13F：推 Vulpix : 這可能不trivial，但應該相當自然。 10/21 23:44
了解~
經過版友和朋友的討論, 整理答案如下:
(1) 存在性是確定的, 只是trivial
(2) K是L^∞確實是為了捲積處處存在
(3) Stein那邊少加了L^1
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/21/2021 23:53:44
14F：→ lala840819 : 有興趣也可以看看別本書，像是Folland的 Real Analy 10/22 00:04
15F：→ lala840819 : sis(應該蠻好查到的)的第8.2章有針對convolution 的 10/22 00:04
16F：→ lala840819 : 介紹，Folland應該也證明的比較仔細一點可以參考看 10/22 00:04
17F：→ lala840819 : 看。 10/22 00:04
18F：推 yasfun : (1)可以用Young's inequality說明/想像 10/22 04:27