作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 实变卷积的存在性证明(Solved)
时间Thu Oct 21 03:32:25 2021
如题请教一下是否下面这件事情很trivial:
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<Property>
若 p€[1,+∞], f€L^p(R^n), g€L^1(R^n)
则 f＊g(x) exists for almost every x€R^n
(特别是p=+∞是处处存在)
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会这样问是因为Zygmund在(6.14)有叙述到但是没证明(p=1)
而在(9.1)更是直接把存在性当已知(p€[1,+∞])
而之後去google时查到一份资料
https://sites.math.washington.edu/~hart/m526/Lecture2.pdf
他真的有证明, 顺序脉络如下:
(1) p=1 卷积a.e.存在
(2) p=+∞ 卷积处处存在
(3) 1<p<+∞ 卷积a.e.存在
阅读之後发现(1), (2)确实简单, 但是(3)他用到了一个性质:
任何p>=1, L^p的函数都能拆成L^1与L^∞的两个函数和 ---(●)
这个性质目前在Zygmund找不到, 然後自己有想到一个证明:
令f€L^p(R^n)
令g(x) = f(x)*χ_{|f>1|}, h(x) = f(x)*χ_{|f<=1|}
则g是L^1, h是L^∞ (h甚至是处处<=1)
但是这个证明<Property>的脉络看起来也不trivial阿....
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总结一下想问的几个问题:
(1) <Property>是否有trivial的证法(不然Zygmund不太可能这样带过)
(2) Zygmund (9.9)
https://imgur.com/ByeNad9 这个定理的证明完全没有到
K是L^∞, 我猜测这个条件是为了让卷积
处处存在, 不然f的连续点x如果
刚好卷积不存在就糗了, 所以我觉得Zygmund应该有考虑到这件事, 刚好呼应那份
pdf所述
(3) Stein的
https://imgur.com/uBK5Occ 21.-(c)的叙述,
竟然只要f, g是可测函数就能确保卷积a.e.存在...这是错的吧!?
反例: f(x) = 1, x€rational
-1, x€irraational
g(x) = 1, x€R
则f, g都是可测函数, 但是f＊g(x)处处不存在
谢谢帮忙~
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1F：→ lala840819 : 你可以试试把h(x)=|f(y)g(x-y)| 写成 |f(y)||g(x-y)10/21 10:31
2F：→ lala840819 : |^(1/p)|g(x-y)|^(1/q)然後用Holder Inequality 估10/21 10:31
3F：→ lala840819 : 计，再用这个估计去估计h的Lp norm 你会发现是有限10/21 10:31
4F：→ lala840819 : 的， 所以h is well-defined a.e.10/21 10:31
5F：推 lala840819 : 更正一下，h(x)是|f(y)g(x-y)|对y积分10/21 10:36
l大你这边的逻辑是不是:
若|F|的积分有限, 则F welldefined a.e.
这样是错的吧...函数要先a.e.有定义才能讨论积分不是吗, 这也是为什麽我觉得Zygmund
直接把卷积函数拿来积分觉得怪怪的, 因为要先确定卷积函数的存在性
6F：推 lala840819 : 卷积是某函数积分，若积分存在则卷积存在。所以要看 10/21 22:52
7F：→ lala840819 : 积分是不是存在就直接挂绝对值估计这个积分，因为非 10/21 22:52
8F：→ lala840819 : 负函数都可以算积分，所以挂绝对值後不用担心存在性 10/21 22:52
9F：→ lala840819 : 问题，只需要估计这个积分会不会是有限的。 10/21 22:52
完全同意, 也就是因为这样才会有最後那个三个问题, Zygmund觉得trivial所以没证
还是说真的有更trivial的方式去证明存在性...
10F：→ willydp : 我觉得没写是因为真的很简单, 有点分析经验的应该懂 10/21 23:13
11F：→ willydp : 可积性出问题，不是某处增长太快，就是远处衰退太慢 10/21 23:13
12F：→ willydp : L^p之间包含的关系也可以用这二点来看 10/21 23:15
w大你说的这两点确实就是我证明p>=1的L^p能分解成L^1+L^∞的思路
只是从以前念Zygmund到现在, 存在性他都很care都会说, 只是证明简单的话就会
留做exercise
但是对於卷积却什麽都没说, 我就在想到底是它有多麽trivial的看法
还是证明就是像我说的reference那样证, 然後他认为这个证明太trivial了就当默认存在
13F：推 Vulpix : 这可能不trivial，但应该相当自然。 10/21 23:44
了解~
经过版友和朋友的讨论, 整理答案如下:
(1) 存在性是确定的, 只是trivial
(2) K是L^∞确实是为了卷积处处存在
(3) Stein那边少加了L^1
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/21/2021 23:53:44
14F：→ lala840819 : 有兴趣也可以看看别本书，像是Folland的 Real Analy 10/22 00:04
15F：→ lala840819 : sis(应该蛮好查到的)的第8.2章有针对convolution 的 10/22 00:04
16F：→ lala840819 : 介绍，Folland应该也证明的比较仔细一点可以参考看 10/22 00:04
17F：→ lala840819 : 看。 10/22 00:04
18F：推 yasfun : (1)可以用Young's inequality说明/想像 10/22 04:27