作者usir166 (灰)
看板Math
標題[離散]反函數相關問題
時間Tue Oct 19 23:12:30 2021
小弟作離散課本(Rosen的)函數的習題時，對反函數的部分有些疑問。
例如一R-->R函數f=x^2，求f^-1({1})，從其他題答案來推測正解應該會是(1,-1)，
但我的想法是f(x)的反函數應該不存在，因為其不是一對一(one-to-one)函數，也
非滿射(onto)函數，而反函數若存在則原函數應同時滿足單射與滿射兩條件，因此我原先
認為的答案應該是無解。
若是採用反函數的定義，f(a)=b則其反函數g應滿足g(b)=a，上面的例題可以找出
(1,-1)是能夠理解的，但因為其也能看作是將1代入f的反函數，而這又與上方的陳述相矛盾，想詢問我的想法哪裡出了問題，感謝各位
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※ 編輯: usir166 (36.229.69.5 臺灣), 10/19/2021 23:19:21
1F：推 znmkhxrw : (1) 反函數不存在, 跟你想的一樣 10/20 00:02
2F：→ znmkhxrw : (2) f^-1(1)是問這個集合{x€R│f(x) = 1} 10/20 00:02
3F：→ znmkhxrw : 然後你第一段的反函數觀念是對的阿, 反而第二段怪 10/20 00:02
感謝Z大，(2)的部分說得很清楚，但f^-1(1)除了如您所說的意義外，我目前疑惑的是它應該也能解讀成將1代入f的反函數中，但此例f的反函數不存在，因此覺得怪怪的
剛回去看了下題目，原題f^-1()括號內應為僅含單一元素的集合{1}，所以應為求f^-1({1})，影響應該不大但還是修正一下，原文同步修正
※ 編輯: usir166 (36.229.69.5 臺灣), 10/20/2021 00:23:02
4F：推 znmkhxrw : pull back的嚴格定義確實是小掛號內擺"集合", 只是 10/20 00:28
5F：→ znmkhxrw : 只有一個元素的時候作者認為跟讀者有共識就隨便了 10/20 00:28
感謝Z大，意外地又長了一些知識，不過仍然好奇像這種f^-1(x)表達方式，能理解為Z大所述，求集合{x€R│f(x) = 1};但也能看作將1代入反函數f^-1(x)，而此例中兩者結果並不相同。這種情況是否是因為寫法不夠嚴謹(課本中的定義是寫「the inverse function of f is denoted by f^-1」)或是有約定成俗的用法而我不知道
※ 編輯: usir166 (36.229.69.5 臺灣), 10/20/2021 00:50:56
6F：推 znmkhxrw : 隨著學的東西越來越多, 符號會越來越重複以及越來越 10/20 01:10
7F：→ znmkhxrw : 複雜, 所以會越來越精簡, 因此如我之前說的"共識"就 10/20 01:10
8F：→ znmkhxrw : 很重要, 如果今天是要考試, 那教授跟課本一定有嚴 10/20 01:10
9F：→ znmkhxrw : 格定義出這個共識, 如果是你跟別人的討論, 為了不 10/20 01:10
10F：→ znmkhxrw : 模稜兩可當然也是先確認共識 10/20 01:10
11F：推 znmkhxrw : 舉例來說, "x^2有沒有反函數", 這個問題其實嚴格說 10/20 01:13
12F：→ znmkhxrw : 來還沒定義完善, 但是99%會說沒有, 就是共識跟默契 10/20 01:13
13F：→ znmkhxrw : 去默認這個問題的定義域跟對應域都是R, 所以答案才 10/20 01:13
14F：→ znmkhxrw : 是沒有. 你要說這樣沒寫清楚嗎? 不一定, 就看你討 10/20 01:13
15F：→ znmkhxrw : 論的對象有沒有共識 10/20 01:13
Z大最後這邊舉的例子對我言很適切、易懂，讓我能充分理解您所要表達的，感激不盡，也謝謝您前面協助我梳理自己的想法
※ 編輯: usir166 (36.229.69.5 臺灣), 10/20/2021 02:48:33
16F：推 znmkhxrw : 不客氣~ 10/20 05:55
17F：推 cloudxyz : z大你半夜一點多不睡, 早上還沒六點就起來也太拼了 10/20 12:56
18F：推 sakurajoker7: 看來是半夜睡不著覺QQ 10/20 13:06