不好意思對L^∞不熟, 大致上梳理一下脈絡 ※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言： : 標題: Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e. : 時間: Sun Oct 17 10:53:12 2021 : : 無論f 是連續函數還是L^1函數，可以用同一套方法來證明。 : 關鍵在於，不是用多項式逼近f，而是和f搭配的g函數(如下Step 1.)。 : : Step 1：積分 f(x) g(x) dx = 0 for all continous g. : : 由Weierstrass逼近定理，取多項式 Pn → g uniformly (i.e., in L^inf) : : 由於f最差是L^1，故積分 f(x)Pn(x) dx → 積分 f(x)g(x)dx (Holder ineq) (1) Step 1是不是在證明: if ∫_{x=a~b} f(x) x^n dx = 0 for all n>=0 then ∫_{x=a~b} f(x) g(x) dx = 0 for all continous g (2) 你註明的" (i.e., in L^inf) "是否是: If f is continuous on [a,b] Then |f|_∞ in sup-norm sense = |f|_∞ in L^∞ sense (因為沒推導過高維sup-norm與實變L^∞的異同, 所以這邊確認一下) (3) 你註明的" (Holder ineq) "是否是: |∫_{x=a~b} f(x)Pn(x) dx - ∫_{x=a~b} f(x)g(x) dx| <= |∫_{x=a~b} f(x)(Pn(x)-g(x)) dx| <= ∫_{x=a~b} |f(x)(Pn(x)-g(x))| dx <= (∫_{x=a~b} |f(x)|dx) * |Pn-g|_∞ (Holder 用在這) 然後n→∞立得所求 : : Step 2：考慮Friedich mollifier : 取 h(x)= max(1-|x|,0) 則 : h 為continuous function of compact support (這邊不需要smooth) : h >= 0 : 積分 h(x) dx = 1 : : 對於eps>0， : f_eps(x) = 積分 f(y) h((x-y)/eps)/eps dy : : 由Step1知 f_eps(x)=0 for all x, eps : : Step 3：想辦法用f_eps逼近f : : 這時巧妙各有不同 : : Case 1. f 連續，高等微積分程度： : 利用(第二)積分均值定理，固定f的連續點x0，對於eps夠小 : : 0 = f_eps(x0) = 積分(x0-eps, x0+eps) f(y) h((x-y)/eps)/eps dy = f(x0*) : for some x0* in x0-eps, x0+eps。 : : 得一組點列→x0，且f取值為0，由連續性得f(x0)=0。 : : 這個方法，是對於f的每個連續點都證出f(x0)=0，考慮到Riemann可積分函數 : 是連續a.e.，那其實也已經證明到Riemann可積函數了。 : : Case 2.f 是L^1，實分析程度 : : Method 1. 引用Friedich mollifier的性質：當F屬於L^p時，則F_eps → F in L^p : : 在本題中 f_eps → f in L^1，f=0 a.e. (1) 好奇問一下, 這個Friedich mollifier是不是Zygmund Lemma(7.3)的另一種證明 原Lemma是證明先證明特徵函數有這性質, 然後其線性組合也有, 然後堆疊上去 L大的證明是直接把這個函數找出來? =============這區塊經c大提醒忽略, 原本就沒有======================== (2) 這裡不理解為什麼: If f_eps → f in L^1 Then f*f_eps → f*f in L^1 我之前需要f有界就是為了把f提出來, 還是不是這個邏輯呢? ==================================================================== : : Method 2. 可以用一個更厲害的，Lebesgue 微分定理： : : 若 F in L^1，則 : 積分(B(x,eps)) |F(y)-F(x)| dy / |B(x,eps)| → 0 a.e. as eps→0+ : : (這些點稱為Lebesgue point) : : 從這裡也可以推出f=0 a.e.，而且可發現正是Lebesgue point取代Case 1.中連續點的角色。 : : ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : : 在高微證過當f€C[a,b]時, 如果有 : : b : : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (黎曼積分) : : a : : 那就有f處處為0 : : 今天的問題是假設沒有連續性, 如果一樣假設 : : b : : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (Lebesgue積分) : : a : : 是否能推出f = 0 almost everywhere : : ========================================== : : 我目前是要假設f在[a,b]有界就可以證出來了 : : (利用一串連續函數逼近L^1函數, 再用Weierstrass多項式逼近到那些連續函數 : : 只是最後統合的過程必須把|f(x)|提出來, 所以需要有界) : : 因此想知道是否原題有反例還是有原題成立的證明 : : 謝謝！ : : -- : 中 最 連 緊 閉 開 : 值 大 通 緻 集 集 : 在 最 到 映 返 返 : 中 小 連 緊 閉 開 : 間 值 通 緻 集 集 : 。 ， 。 ， ； ， : : -- :

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1634476791.A.F19.html 恩恩~我漏看了, 修改一下, 謝謝! ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/18/2021 03:17:46