不好意思对L^∞不熟, 大致上梳理一下脉络 ※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之铭言： : 标题: Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e. : 时间: Sun Oct 17 10:53:12 2021 : : 无论f 是连续函数还是L^1函数，可以用同一套方法来证明。 : 关键在於，不是用多项式逼近f，而是和f搭配的g函数(如下Step 1.)。 : : Step 1：积分 f(x) g(x) dx = 0 for all continous g. : : 由Weierstrass逼近定理，取多项式 Pn → g uniformly (i.e., in L^inf) : : 由於f最差是L^1，故积分 f(x)Pn(x) dx → 积分 f(x)g(x)dx (Holder ineq) (1) Step 1是不是在证明: if ∫_{x=a~b} f(x) x^n dx = 0 for all n>=0 then ∫_{x=a~b} f(x) g(x) dx = 0 for all continous g (2) 你注明的" (i.e., in L^inf) "是否是: If f is continuous on [a,b] Then |f|_∞ in sup-norm sense = |f|_∞ in L^∞ sense (因为没推导过高维sup-norm与实变L^∞的异同, 所以这边确认一下) (3) 你注明的" (Holder ineq) "是否是: |∫_{x=a~b} f(x)Pn(x) dx - ∫_{x=a~b} f(x)g(x) dx| <= |∫_{x=a~b} f(x)(Pn(x)-g(x)) dx| <= ∫_{x=a~b} |f(x)(Pn(x)-g(x))| dx <= (∫_{x=a~b} |f(x)|dx) * |Pn-g|_∞ (Holder 用在这) 然後n→∞立得所求 : : Step 2：考虑Friedich mollifier : 取 h(x)= max(1-|x|,0) 则 : h 为continuous function of compact support (这边不需要smooth) : h >= 0 : 积分 h(x) dx = 1 : : 对於eps>0， : f_eps(x) = 积分 f(y) h((x-y)/eps)/eps dy : : 由Step1知 f_eps(x)=0 for all x, eps : : Step 3：想办法用f_eps逼近f : : 这时巧妙各有不同 : : Case 1. f 连续，高等微积分程度： : 利用(第二)积分均值定理，固定f的连续点x0，对於eps够小 : : 0 = f_eps(x0) = 积分(x0-eps, x0+eps) f(y) h((x-y)/eps)/eps dy = f(x0*) : for some x0* in x0-eps, x0+eps。 : : 得一组点列→x0，且f取值为0，由连续性得f(x0)=0。 : : 这个方法，是对於f的每个连续点都证出f(x0)=0，考虑到Riemann可积分函数 : 是连续a.e.，那其实也已经证明到Riemann可积函数了。 : : Case 2.f 是L^1，实分析程度 : : Method 1. 引用Friedich mollifier的性质：当F属於L^p时，则F_eps → F in L^p : : 在本题中 f_eps → f in L^1，f=0 a.e. (1) 好奇问一下, 这个Friedich mollifier是不是Zygmund Lemma(7.3)的另一种证明 原Lemma是证明先证明特徵函数有这性质, 然後其线性组合也有, 然後堆叠上去 L大的证明是直接把这个函数找出来? =============这区块经c大提醒忽略, 原本就没有======================== (2) 这里不理解为什麽: If f_eps → f in L^1 Then f*f_eps → f*f in L^1 我之前需要f有界就是为了把f提出来, 还是不是这个逻辑呢? ==================================================================== : : Method 2. 可以用一个更厉害的，Lebesgue 微分定理： : : 若 F in L^1，则 : 积分(B(x,eps)) |F(y)-F(x)| dy / |B(x,eps)| → 0 a.e. as eps→0+ : : (这些点称为Lebesgue point) : : 从这里也可以推出f=0 a.e.，而且可发现正是Lebesgue point取代Case 1.中连续点的角色。 : : ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : : 在高微证过当f€C[a,b]时, 如果有 : : b : : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (黎曼积分) : : a : : 那就有f处处为0 : : 今天的问题是假设没有连续性, 如果一样假设 : : b : : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (Lebesgue积分) : : a : : 是否能推出f = 0 almost everywhere : : ========================================== : : 我目前是要假设f在[a,b]有界就可以证出来了 : : (利用一串连续函数逼近L^1函数, 再用Weierstrass多项式逼近到那些连续函数 : : 只是最後统合的过程必须把|f(x)|提出来, 所以需要有界) : : 因此想知道是否原题有反例还是有原题成立的证明 : : 谢谢！ : : -- : 中 最 连 紧 闭 开 : 值 大 通 致 集 集 : 在 最 到 映 返 返 : 中 小 连 紧 闭 开 : 间 值 通 致 集 集 : 。 ， 。 ， ； ， : : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.85.1.57 (台湾) : ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1634439220.A.563.html 谢谢回答~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1634476791.A.F19.html 恩恩~我漏看了, 修改一下, 谢谢! ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/18/2021 03:17:46