作者scitamehtam (scitamehtam)
看板Math
標題[機統] 三道門機率問題
時間Fri Oct 15 18:01:30 2021
這題是經典問題
題目特別強調“主持人知道哪一扇門才有汽車”
而其他兩道門後面是羊
這樣的假設是否是多餘的？
我的想法
如果參賽者選擇A門
主持人打開B門後，是一頭羊
在打開看到這B門是頭羊的條件下，是已發生的事實
根本不用管主持人是否知道？ 知道打開也是羊，就算不知道現在情況下打開也是羊了啊？
而這題的解答
可否思考如下
參賽者只能選擇一道門，所以拿到車的機率是1/3
P(A)=P(B)=P(C)=1/3
沒選到車的另兩個門有車的機率是2/3，但個別機率是1/3
當主持人任意開啟一門假設是B門，發現是一頭羊 （令此事件為E）
則另一道門是車的機率就變成2/3 (ie. P(B)+P(C)=2/3)
P(C|E) = 2/3, P(A|E) = 1/3, P(B|E) = 0
P(C|E) > P(A|E) 所以理當要換門？
請問我的理解有錯誤嗎？
謝謝
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.44.16 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1634292092.A.11E.html
1F：推 Vulpix : 你主持人開到車怎麼辦…… 10/15 18:04
given 打開B門是頭羊的情況下，主持人知不知道應該沒差吧？
看到事件E的同時，已經確定B是一頭羊而不是車
我大概能接受換門獲獎率比較高的答案，但我提出的思考方式是否有錯誤呢
※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 18:12:06
3F：→ a547808588 : 一樓說了啊，要是主持人不知道開到車怎麼辦，畢竟 10/15 18:30
4F：→ a547808588 : 正常情況下大家都要車 10/15 18:30
5F：推 Vulpix : 主持人不知道車在C門，他要怎麼知道該開B門？ 10/15 18:31
6F：→ Vulpix : *車不在B門 10/15 18:32
7F：→ Vulpix : 總之，你算的是條件機率。已知條件是主持人隨意看 10/15 18:34
8F：→ Vulpix : 了B門，門後是羊。 10/15 18:34
9F：→ Vulpix : *開了 10/15 18:35
嗯嗯，我就是假設主持人任意開了一個門，而這個門剛好是頭羊
10F：推 a547808588 : 可是主持人也可能隨意開，開到的是汽車，那麼再笨 10/15 18:44
11F：→ a547808588 : 的人都要選車，所以要排除這種狀況。畢竟題目是問 10/15 18:44
12F：→ a547808588 : 來賓換不換門，要是知道那扇門後面車，那麼他一定 10/15 18:44
13F：→ a547808588 : 會換，那麼這個情況討論起來就沒有任何意義 10/15 18:44
同意，那我後面計算機率的想法是否有正確呢？
謝謝解答
※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 19:05:51
14F：推 LPH66 : P(B)+P(C)=2/3 推不出 P(B|E)+P(C|E)=2/3 10/15 19:18
15F：推 LPH66 : 嗯...這樣講試試? P(E) 在主持人不知道謎底時是 1/3 10/15 19:45
16F：→ LPH66 : 在主持人知道謎底時是 1/2 10/15 19:46
17F：→ LPH66 : 因為「主持人知道謎底」這件事讓某些狀況的機率變 0 10/15 19:47
18F：→ LPH66 : 和這些被「刪掉」的事件成對的事件才會收到所有機率 10/15 19:47
19F：→ LPH66 : 這在主持人不知道謎底時是不會發生的 10/15 19:48
20F：→ LPH66 : P(E) 在主持人知道謎底時是 1/2 也能這樣看: 10/15 19:49
21F：→ LPH66 : 加入事件 F「主持人開 C 門看到羊」, 顯然機率同 E 10/15 19:50
22F：→ LPH66 : 若主持人知道謎底, 則 E 和 F 就是全部了, 所以各半 10/15 19:50
23F：→ LPH66 : 若主持人任意開, 則要算上開門看到車的 1/3 才是 10/15 19:51
24F：→ LPH66 : 全部, 所以 E 和 F 只有各 1/3 10/15 19:51
汽車在Ｘ門後的事件 Ｘ＝A, B, C
E主持人開Ｂ門，且Ｂ門後是一隻羊
F主持人開Ｂ門，且Ｂ門後是一台車
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(E) = 1/2 * 1/3 = 1/6
P(F) = 1/2 * 1/3 = 1/6
P(C|E) = P(C, E) / P(E) = 1 - P(A) = 2/3 (C 交集 E 等價 A')
P(B|E) = P(B, E) / P(E) = 0 * 6 = 0 (B 交集 E = empty)
P(A|E) = 1/3
我把它寫仔細一點 這樣呢？ 有沒有不對的地方 感謝分享
※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 20:24:57
25F：推 LPH66 : C 交集 E 不是 A', 是 A' 交集 (主持人開 B) 10/15 20:48
27F：→ LPH66 : 則「主持人開 B 門看到羊」是 U 聯集 Y 10/15 20:50
28F：→ LPH66 : C 交集 E 是 Y, 但 A' (排除 B) 則是 Y 聯集 Z 10/15 20:51
29F：→ LPH66 : 就是這個 Z 的有無造成機率不同 10/15 20:51
30F：→ LPH66 : 在主持人任意開的狀況時, Z 機率非零 10/15 20:52
31F：→ LPH66 : 在主持人知道答案的狀況時, Z 的機率是 0 10/15 20:52
32F：→ LPH66 : 因為這個不同加上 P(Y)+P(Z)=1/3 所以 P(Y) 不同 10/15 20:53
33F：→ LPH66 : 跟著 P(E) = P(U)+P(Y) 也就不同了 10/15 20:53
34F：推 LPH66 : (啊, 原本是有要在表裡寫機率所以寫了 1/2 10/15 20:57
35F：→ LPH66 : 但這 1/2 只在任意開時能事先得知, 另一種狀況 10/15 20:57
36F：→ LPH66 : 雖然恰好也是 1/2 但不是給定的) 10/15 20:57
37F：推 TaiwanFight : 你可以把參賽者拿掉 有三個們主持人自己點一個門 10/16 18:24
38F：→ TaiwanFight : 不開 然後另外兩個門打開一個 發現是羊 10/16 18:25
39F：→ TaiwanFight : 所以現在這兩門是1/3 2/3 這其中必有問題 10/16 18:25
40F：→ TaiwanFight : 至於數學計算 至少每一個事件定義要明確 才能算 10/16 18:27
41F：→ TaiwanFight : 條件機率的語言處理 比數學本身稍難 10/16 18:28