作者scitamehtam (scitamehtam)
看板Math
标题[机统] 三道门机率问题
时间Fri Oct 15 18:01:30 2021
这题是经典问题
题目特别强调“主持人知道哪一扇门才有汽车”
而其他两道门後面是羊
这样的假设是否是多余的？
我的想法
如果参赛者选择A门
主持人打开B门後，是一头羊
在打开看到这B门是头羊的条件下，是已发生的事实
根本不用管主持人是否知道？ 知道打开也是羊，就算不知道现在情况下打开也是羊了啊？
而这题的解答
可否思考如下
参赛者只能选择一道门，所以拿到车的机率是1/3
P(A)=P(B)=P(C)=1/3
没选到车的另两个门有车的机率是2/3，但个别机率是1/3
当主持人任意开启一门假设是B门，发现是一头羊 （令此事件为E）
则另一道门是车的机率就变成2/3 (ie. P(B)+P(C)=2/3)
P(C|E) = 2/3, P(A|E) = 1/3, P(B|E) = 0
P(C|E) > P(A|E) 所以理当要换门？
请问我的理解有错误吗？
谢谢
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 101.12.44.16 (台湾)
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1F：推 Vulpix : 你主持人开到车怎麽办…… 10/15 18:04
given 打开B门是头羊的情况下，主持人知不知道应该没差吧？
看到事件E的同时，已经确定B是一头羊而不是车
我大概能接受换门获奖率比较高的答案，但我提出的思考方式是否有错误呢
※ 编辑: scitamehtam (101.12.44.16 台湾), 10/15/2021 18:12:06
3F：→ a547808588 : 一楼说了啊，要是主持人不知道开到车怎麽办，毕竟 10/15 18:30
4F：→ a547808588 : 正常情况下大家都要车 10/15 18:30
5F：推 Vulpix : 主持人不知道车在C门，他要怎麽知道该开B门？ 10/15 18:31
6F：→ Vulpix : *车不在B门 10/15 18:32
7F：→ Vulpix : 总之，你算的是条件机率。已知条件是主持人随意看 10/15 18:34
8F：→ Vulpix : 了B门，门後是羊。 10/15 18:34
9F：→ Vulpix : *开了 10/15 18:35
嗯嗯，我就是假设主持人任意开了一个门，而这个门刚好是头羊
10F：推 a547808588 : 可是主持人也可能随意开，开到的是汽车，那麽再笨 10/15 18:44
11F：→ a547808588 : 的人都要选车，所以要排除这种状况。毕竟题目是问 10/15 18:44
12F：→ a547808588 : 来宾换不换门，要是知道那扇门後面车，那麽他一定 10/15 18:44
13F：→ a547808588 : 会换，那麽这个情况讨论起来就没有任何意义 10/15 18:44
同意，那我後面计算机率的想法是否有正确呢？
谢谢解答
※ 编辑: scitamehtam (101.12.44.16 台湾), 10/15/2021 19:05:51
14F：推 LPH66 : P(B)+P(C)=2/3 推不出 P(B|E)+P(C|E)=2/3 10/15 19:18
15F：推 LPH66 : 嗯...这样讲试试? P(E) 在主持人不知道谜底时是 1/3 10/15 19:45
16F：→ LPH66 : 在主持人知道谜底时是 1/2 10/15 19:46
17F：→ LPH66 : 因为「主持人知道谜底」这件事让某些状况的机率变 0 10/15 19:47
18F：→ LPH66 : 和这些被「删掉」的事件成对的事件才会收到所有机率 10/15 19:47
19F：→ LPH66 : 这在主持人不知道谜底时是不会发生的 10/15 19:48
20F：→ LPH66 : P(E) 在主持人知道谜底时是 1/2 也能这样看: 10/15 19:49
21F：→ LPH66 : 加入事件 F「主持人开 C 门看到羊」, 显然机率同 E 10/15 19:50
22F：→ LPH66 : 若主持人知道谜底, 则 E 和 F 就是全部了, 所以各半 10/15 19:50
23F：→ LPH66 : 若主持人任意开, 则要算上开门看到车的 1/3 才是 10/15 19:51
24F：→ LPH66 : 全部, 所以 E 和 F 只有各 1/3 10/15 19:51
汽车在Ｘ门後的事件 Ｘ＝A, B, C
E主持人开Ｂ门，且Ｂ门後是一只羊
F主持人开Ｂ门，且Ｂ门後是一台车
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(E) = 1/2 * 1/3 = 1/6
P(F) = 1/2 * 1/3 = 1/6
P(C|E) = P(C, E) / P(E) = 1 - P(A) = 2/3 (C 交集 E 等价 A')
P(B|E) = P(B, E) / P(E) = 0 * 6 = 0 (B 交集 E = empty)
P(A|E) = 1/3
我把它写仔细一点 这样呢？ 有没有不对的地方 感谢分享
※ 编辑: scitamehtam (101.12.44.16 台湾), 10/15/2021 20:24:57
25F：推 LPH66 : C 交集 E 不是 A', 是 A' 交集 (主持人开 B) 10/15 20:48
27F：→ LPH66 : 则「主持人开 B 门看到羊」是 U 联集 Y 10/15 20:50
28F：→ LPH66 : C 交集 E 是 Y, 但 A' (排除 B) 则是 Y 联集 Z 10/15 20:51
29F：→ LPH66 : 就是这个 Z 的有无造成机率不同 10/15 20:51
30F：→ LPH66 : 在主持人任意开的状况时, Z 机率非零 10/15 20:52
31F：→ LPH66 : 在主持人知道答案的状况时, Z 的机率是 0 10/15 20:52
32F：→ LPH66 : 因为这个不同加上 P(Y)+P(Z)=1/3 所以 P(Y) 不同 10/15 20:53
33F：→ LPH66 : 跟着 P(E) = P(U)+P(Y) 也就不同了 10/15 20:53
34F：推 LPH66 : (啊, 原本是有要在表里写机率所以写了 1/2 10/15 20:57
35F：→ LPH66 : 但这 1/2 只在任意开时能事先得知, 另一种状况 10/15 20:57
36F：→ LPH66 : 虽然恰好也是 1/2 但不是给定的) 10/15 20:57
37F：推 TaiwanFight : 你可以把参赛者拿掉 有三个们主持人自己点一个门 10/16 18:24
38F：→ TaiwanFight : 不开 然後另外两个门打开一个 发现是羊 10/16 18:25
39F：→ TaiwanFight : 所以现在这两门是1/3 2/3 这其中必有问题 10/16 18:25
40F：→ TaiwanFight : 至於数学计算 至少每一个事件定义要明确 才能算 10/16 18:27
41F：→ TaiwanFight : 条件机率的语言处理 比数学本身稍难 10/16 18:28