提供一個與前一個解答不同的想法(也許跟C老師很像XD) 會用到一些Real analysis的定理 可參考Rudin的「Real and complex analysis」 ==== 結論 ==== 我想應該只需要 f in L^1([a,b]) 即可 ==== 前情提要 ==== Theorem 6.16 (Rudin) Suppose 1≦p＜∞, X=[a,b], and μ is the Lebesgue measure on X. Let Φ be a bounded linear functional on L^p(μ). Then there exists a unique g in L^q(μ) (where 1/p+1/q=1) s.t. Φ(f) = ∫f g dμ. 這個定理在說 1≦p＜∞ 時，bounded linear functional on L^p 可 identified 成 L^q (p=1時有一些限制，但X=R or X=[a,b]會滿足此限制) Theorem 5.20 (Rudin) Given f in X = L^p(μ) with 1≦p＜∞. There is a bounded linear functional Φ on X s.t. Φ(f) = ||f||_{L^p}. 這個定理是Hahn-Banach Theorem的應用， 在說bounded linear functional「看得到」X (normed space) 裡面的東西 (也就是若 f≠0 in X，則存在一個Φ使得Φ(f)≠0) Theorem 3.14 (Rudin) + Stone-Weierstrass Theorem 前者說明連續函數可逼近L^q函數(in L^q)，後者說明多項式可逼近連續函數(in L^∞) 因考慮的interval [a,b]是有限區間，後者也說明多項式可逼近連續函數(in L^q) ==== 策略 ==== 假設有一個f in L^p([a,b]) (with 1≦p＜∞) 滿足 (for every n) ∫f (x^n) dμ = 0 (μ = Lebesgue measure) Claim: ∫f g dμ = 0 for every g in L^q([a,b]) (where 1/p+1/q=1). Proof: Theorem 3.14 + Stone-Weierstrass 說存在 polynomial P_n converging to g in L^q 可以用Holder證明∫ f g dμ = lim ∫ f (P_n) dμ (我猜這一步應該類似於你說的原本需要 |f| bounded的步驟，但此處只需要f in L^p) 至此證完Claim。 有了Claim再使用上述Theorem 6.16 + Theorem 5.20即可證明 f = 0 in L^p，因此f = 0 a.e. 註: L^p 意指 L^p space，其定義的 norm 為 ||f||_{L^p} = ∫ |f|^p dμ (when 1≦p<∞) --

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