提供一个与前一个解答不同的想法(也许跟C老师很像XD) 会用到一些Real analysis的定理 可参考Rudin的「Real and complex analysis」 ==== 结论 ==== 我想应该只需要 f in L^1([a,b]) 即可 ==== 前情提要 ==== Theorem 6.16 (Rudin) Suppose 1≦p＜∞, X=[a,b], and μ is the Lebesgue measure on X. Let Φ be a bounded linear functional on L^p(μ). Then there exists a unique g in L^q(μ) (where 1/p+1/q=1) s.t. Φ(f) = ∫f g dμ. 这个定理在说 1≦p＜∞ 时，bounded linear functional on L^p 可 identified 成 L^q (p=1时有一些限制，但X=R or X=[a,b]会满足此限制) Theorem 5.20 (Rudin) Given f in X = L^p(μ) with 1≦p＜∞. There is a bounded linear functional Φ on X s.t. Φ(f) = ||f||_{L^p}. 这个定理是Hahn-Banach Theorem的应用， 在说bounded linear functional「看得到」X (normed space) 里面的东西 (也就是若 f≠0 in X，则存在一个Φ使得Φ(f)≠0) Theorem 3.14 (Rudin) + Stone-Weierstrass Theorem 前者说明连续函数可逼近L^q函数(in L^q)，後者说明多项式可逼近连续函数(in L^∞) 因考虑的interval [a,b]是有限区间，後者也说明多项式可逼近连续函数(in L^q) ==== 策略 ==== 假设有一个f in L^p([a,b]) (with 1≦p＜∞) 满足 (for every n) ∫f (x^n) dμ = 0 (μ = Lebesgue measure) Claim: ∫f g dμ = 0 for every g in L^q([a,b]) (where 1/p+1/q=1). Proof: Theorem 3.14 + Stone-Weierstrass 说存在 polynomial P_n converging to g in L^q 可以用Holder证明∫ f g dμ = lim ∫ f (P_n) dμ (我猜这一步应该类似於你说的原本需要 |f| bounded的步骤，但此处只需要f in L^p) 至此证完Claim。 有了Claim再使用上述Theorem 6.16 + Theorem 5.20即可证明 f = 0 in L^p，因此f = 0 a.e. 注: L^p 意指 L^p space，其定义的 norm 为 ||f||_{L^p} = ∫ |f|^p dμ (when 1≦p<∞) --

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