作者anoymouse (沒有暱稱)
看板Math
標題[微積] Apply the Ratio Test to power series
時間Fri Oct 8 11:03:07 2021
書上關於ratio test是用在非負數的數列上，如紅字底所述:
https://i.imgur.com/PGDYpvy.png
但書上還是把ratio test用在power series上。
這是ratio test的ratio < 1的證明:
https://imgur.com/WEX56NW
https://imgur.com/f4p7FrB
請問是否可理解成在證明時的(1 + r + r^2 + ...)這一段，在power series上變成
(1 - r + r^2 - ...)?
然後再用The Alternating Series Test (Leibniz’s Test) 做判斷
(1 - r + r^2 - ...)是否收斂?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.38.34 (臺灣)
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1F：→ mantour : 第三張圖連結打不開 10/08 11:33
2F：→ mantour : 不過其實只要lim |a_{n+1}/a_n| < 1, 就是絕對收斂 10/08 11:41
3F：→ mantour : lim |a_{n+1}/a_n| > 1 就是發散 10/08 11:42
4F：→ mantour : 可以不用管正負號 10/08 11:42
改了 這樣看的到?
對啊 但我想確認為什麼他證明的時候只有用非負的項?
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:02:09
5F：→ mantour : 1+r+r^2...收斂性不需用用到ratio test或alternati 10/08 12:13
6F：→ mantour : ng series test呀 10/08 12:13
7F：→ mantour : 他是用已知的geometric series的收斂條件去證明rat 10/08 12:17
8F：→ mantour : io test 10/08 12:17
9F：→ anoymouse : 我知道啊 但我現在是1-r+…也不用alternate? 10/08 12:18
10F：→ mantour : 你是說哪裡會用到1-r+r^2... ? 10/08 12:33
是
11F：→ mantour : 你是說第一張圖的(b)嗎? 10/08 12:35
12F：推 mantour : 他的解答是直接去證明|x|<1時,sum(|u_n|)收斂, 所以 10/08 12:40
13F：→ mantour : sum(u_n) 是絕對收斂 10/08 12:41
是Compairson test的概念嗎? Σ|u_n|>Σu_n 所以|u_n|收斂 u_n絕對收斂?
14F：→ mantour : 而sum (|u_n|) 的每一項都是正的, 所以也用不到 10/08 12:41
15F：→ mantour : alternating series test 10/08 12:41
16F：→ mantour : 更正: sum (|u_n|) 每一項都非負 10/08 12:43
17F：推 mantour : 更正: 我說的是解答的a 10/08 12:53
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:56:31
18F：→ mantour : (b) 應該也是一樣的意思 10/08 12:54
對 都是一正一負 一樣的意思
19F：→ mantour : 把ratio test用在 取絕對值之後的級數 上 10/08 12:55
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:57:14
20F：→ mantour : 等一下你的書上前面沒有講"absolute convergence"嗎 10/08 12:59
有耶 看到才想起來 感謝mantour的耐心回答 非常詳細
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 13:03:59
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 13:05:46