作者anoymouse (没有昵称)
看板Math
标题[微积] Apply the Ratio Test to power series
时间Fri Oct 8 11:03:07 2021
书上关於ratio test是用在非负数的数列上，如红字底所述:
https://i.imgur.com/PGDYpvy.png
但书上还是把ratio test用在power series上。
这是ratio test的ratio < 1的证明:
https://imgur.com/WEX56NW
https://imgur.com/f4p7FrB
请问是否可理解成在证明时的(1 + r + r^2 + ...)这一段，在power series上变成
(1 - r + r^2 - ...)?
然後再用The Alternating Series Test (Leibniz’s Test) 做判断
(1 - r + r^2 - ...)是否收敛?
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 210.242.38.34 (台湾)
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1F：→ mantour : 第三张图连结打不开 10/08 11:33
2F：→ mantour : 不过其实只要lim |a_{n+1}/a_n| < 1, 就是绝对收敛 10/08 11:41
3F：→ mantour : lim |a_{n+1}/a_n| > 1 就是发散 10/08 11:42
4F：→ mantour : 可以不用管正负号 10/08 11:42
改了 这样看的到?
对啊 但我想确认为什麽他证明的时候只有用非负的项?
※ 编辑: anoymouse (210.242.38.34 台湾), 10/08/2021 12:02:09
5F：→ mantour : 1+r+r^2...收敛性不需用用到ratio test或alternati 10/08 12:13
6F：→ mantour : ng series test呀 10/08 12:13
7F：→ mantour : 他是用已知的geometric series的收敛条件去证明rat 10/08 12:17
8F：→ mantour : io test 10/08 12:17
9F：→ anoymouse : 我知道啊 但我现在是1-r+…也不用alternate? 10/08 12:18
10F：→ mantour : 你是说哪里会用到1-r+r^2... ? 10/08 12:33
是
11F：→ mantour : 你是说第一张图的(b)吗? 10/08 12:35
12F：推 mantour : 他的解答是直接去证明|x|<1时,sum(|u_n|)收敛, 所以 10/08 12:40
13F：→ mantour : sum(u_n) 是绝对收敛 10/08 12:41
是Compairson test的概念吗? Σ|u_n|>Σu_n 所以|u_n|收敛 u_n绝对收敛?
14F：→ mantour : 而sum (|u_n|) 的每一项都是正的, 所以也用不到 10/08 12:41
15F：→ mantour : alternating series test 10/08 12:41
16F：→ mantour : 更正: sum (|u_n|) 每一项都非负 10/08 12:43
17F：推 mantour : 更正: 我说的是解答的a 10/08 12:53
※ 编辑: anoymouse (210.242.38.34 台湾), 10/08/2021 12:56:31
18F：→ mantour : (b) 应该也是一样的意思 10/08 12:54
对 都是一正一负 一样的意思
19F：→ mantour : 把ratio test用在 取绝对值之後的级数 上 10/08 12:55
※ 编辑: anoymouse (210.242.38.34 台湾), 10/08/2021 12:57:14
20F：→ mantour : 等一下你的书上前面没有讲"absolute convergence"吗 10/08 12:59
有耶 看到才想起来 感谢mantour的耐心回答 非常详细
※ 编辑: anoymouse (210.242.38.34 台湾), 10/08/2021 13:03:59
※ 编辑: anoymouse (210.242.38.34 台湾), 10/08/2021 13:05:46