作者chc1984 (這就是暱稱)
看板Math
標題[中學] 極限問題
時間Tue Oct 5 23:18:27 2021
今天看到中山女中自編教材：
https://i.imgur.com/kQNaOpG.jpg
1-9題答案好像都跟e有關，新課綱有加入e的教材在高中課程，但似乎沒有著默太多
但有點不知道怎麼跟高三生証明
(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e
想請各位幫忙一下，謝謝~~
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1F：推 Vulpix : 跟他說是定義。 10/05 23:21
2F：→ Vulpix : 極限存在的理由大概就是遞增又有上界，讓他體會。 10/05 23:22
3F：→ Vulpix : 遞增方面我想得到的最簡單作法至少需要多數字的算幾 10/05 23:23
4F：→ Vulpix : 不等式，但這個高中已經不教了。要不然大絕就是： 10/05 23:24
5F：→ Vulpix : 計算機多按幾次，看起來收斂了。 10/05 23:24
6F：推 alan23273850: 我也想知道怎麼證明 10/06 08:12
7F：→ suker : 改寫n->0 還要用到一點微積分{羅必達法則} 10/06 08:43
8F：→ suker : 高三有教微積分？ 脫離學生時代太久了 10/06 08:46
9F：推 arrenwu : 這些問題用 L'Hospital's rule 只有更難做而已 10/06 08:52
10F：→ suker : 可用羅必達還好吧 lim(1+ n)^(1/n) ,{n->0} 10/06 09:02
11F：→ suker : e ^ {ln(1+n)/n} ,{n->0} 0/0 羅必達 10/06 09:03
12F：→ suker : =e^1 10/06 09:03
13F：推 arrenwu : 你那個使用羅必達的做法，除了得要引羅必達法則之外 10/06 09:27
14F：→ arrenwu : ，還需要知道 ln(x) 的導函數是 1/x 10/06 09:28
15F：→ arrenwu : 但在那之前的進度老早就會包含 e^x = lim (1+x/n)^n 10/06 09:29
16F：→ arrenwu : 然後這個(1)-(9)就解完了 10/06 09:30
17F：→ suker : 開頭就說要用到微積分 10/06 09:36
18F：→ mantour : 二項式展開後的第k項為C(n,k)(1/n)^k 10/06 09:39
19F：→ mantour : = 1/k! n(n-1)(1-2/n)...(n-k+1) (1/n)^k 10/06 09:39
20F：→ mantour : = 1/k! 1(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n) 10/06 09:40
21F：→ mantour : 所以第k項隨n遞增, 總和也隨n遞增 10/06 09:41
22F：→ mantour : 第二行打錯, 應該是 10/06 09:42
23F：→ mantour : = 1/k! n(n-1)(n-2)...(n-k+1) (1/n)^k 10/06 09:42
24F：→ mantour : 但是要怎麼證明有上界? 10/06 09:43
25F：推 arrenwu : 你用二項式展開，可以證明他會比 1+1/1! + 1/2! ... 10/06 09:46
26F：→ arrenwu : 小。然後那個級數是收斂的 10/06 09:46
27F：→ mantour : 了解 謝謝a大 10/06 09:57
28F：→ HeterCompute: 現在高中會教1+1/1!+1/2!+...收斂的嗎？ 10/06 10:52
29F：推 Vulpix : 用1+1+1/1/2+1/2/3+1/3/4+...就好，這個有教。 10/06 11:04
30F：→ mantour : 想到了,只要比 1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... 10/06 21:34
31F：→ mantour : 小, 也可以, 這個一定有教 10/06 21:34
32F：→ chc1984 : 非常感謝大家 10/06 23:19