作者chc1984 (这就是昵称)
看板Math
标题[中学] 极限问题
时间Tue Oct 5 23:18:27 2021
今天看到中山女中自编教材：
https://i.imgur.com/kQNaOpG.jpg
1-9题答案好像都跟e有关，新课纲有加入e的教材在高中课程，但似乎没有着默太多
但有点不知道怎麽跟高三生证明
(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e
想请各位帮忙一下，谢谢~~
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1F：推 Vulpix : 跟他说是定义。 10/05 23:21
2F：→ Vulpix : 极限存在的理由大概就是递增又有上界，让他体会。 10/05 23:22
3F：→ Vulpix : 递增方面我想得到的最简单作法至少需要多数字的算几 10/05 23:23
4F：→ Vulpix : 不等式，但这个高中已经不教了。要不然大绝就是： 10/05 23:24
5F：→ Vulpix : 计算机多按几次，看起来收敛了。 10/05 23:24
6F：推 alan23273850: 我也想知道怎麽证明 10/06 08:12
7F：→ suker : 改写n->0 还要用到一点微积分{罗必达法则} 10/06 08:43
8F：→ suker : 高三有教微积分？ 脱离学生时代太久了 10/06 08:46
9F：推 arrenwu : 这些问题用 L'Hospital's rule 只有更难做而已 10/06 08:52
10F：→ suker : 可用罗必达还好吧 lim(1+ n)^(1/n) ,{n->0} 10/06 09:02
11F：→ suker : e ^ {ln(1+n)/n} ,{n->0} 0/0 罗必达 10/06 09:03
12F：→ suker : =e^1 10/06 09:03
13F：推 arrenwu : 你那个使用罗必达的做法，除了得要引罗必达法则之外 10/06 09:27
14F：→ arrenwu : ，还需要知道 ln(x) 的导函数是 1/x 10/06 09:28
15F：→ arrenwu : 但在那之前的进度老早就会包含 e^x = lim (1+x/n)^n 10/06 09:29
16F：→ arrenwu : 然後这个(1)-(9)就解完了 10/06 09:30
17F：→ suker : 开头就说要用到微积分 10/06 09:36
18F：→ mantour : 二项式展开後的第k项为C(n,k)(1/n)^k 10/06 09:39
19F：→ mantour : = 1/k! n(n-1)(1-2/n)...(n-k+1) (1/n)^k 10/06 09:39
20F：→ mantour : = 1/k! 1(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n) 10/06 09:40
21F：→ mantour : 所以第k项随n递增, 总和也随n递增 10/06 09:41
22F：→ mantour : 第二行打错, 应该是 10/06 09:42
23F：→ mantour : = 1/k! n(n-1)(n-2)...(n-k+1) (1/n)^k 10/06 09:42
24F：→ mantour : 但是要怎麽证明有上界? 10/06 09:43
25F：推 arrenwu : 你用二项式展开，可以证明他会比 1+1/1! + 1/2! ... 10/06 09:46
26F：→ arrenwu : 小。然後那个级数是收敛的 10/06 09:46
27F：→ mantour : 了解 谢谢a大 10/06 09:57
28F：→ HeterCompute: 现在高中会教1+1/1!+1/2!+...收敛的吗？ 10/06 10:52
29F：推 Vulpix : 用1+1+1/1/2+1/2/3+1/3/4+...就好，这个有教。 10/06 11:04
30F：→ mantour : 想到了,只要比 1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... 10/06 21:34
31F：→ mantour : 小, 也可以, 这个一定有教 10/06 21:34
32F：→ chc1984 : 非常感谢大家 10/06 23:19