作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
標題[線代] 為什麼一個 VS 必定存在 basis 要證明？
時間Tue Oct 5 15:27:08 2021
如題，我的構想是，先把 vector space 內的每個 vector 都納入 generating set，
接著再從 generating set 之內每次排除掉一個可以表成 set 內其他 vector 的線性
組合的 vector，這樣子逐步限縮，不就可以得到一個 linearly independent 的
generating set，也就是 basis 了嗎？
那為什麼聖經本第 1.7 節還要特地討論這件事情呢？
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1F：推 Vulpix : 除了finite dimensional vector space over finit 10/05 16:00
2F：→ Vulpix : e field，你的排除法在有限步驟內排不乾淨。 10/05 16:00
3F：→ alan23273850: 所以如果不要求線性獨立，只要證明 generating set 10/05 16:30
4F：→ alan23273850: 存在的話是可以的囉？ 10/05 16:30
5F：→ alan23273850: 我的意思是，每個 VS 都存在一個 generating subset 10/05 16:32
6F：→ alan23273850: 這件事情應該是 trivial 的，不用證明？ 10/05 16:32
7F：推 Vulpix : 對 VS 來說，自身是一個過於 trivial 的 gen. set。 10/05 19:17
8F：→ Vulpix : 雖然按定義還是得驗證一下的。然後下一個還是很 10/05 19:17
9F：→ Vulpix : trivial 但又比較 non-trivial 的是 V-{0}。 10/05 19:19
10F：→ Vulpix : 我覺得都不算未證自明。 10/05 19:19
11F：推 arrenwu : "Trivial" 的意思是"證明簡單"，不是不用證明 10/05 19:31
12F：→ arrenwu : 在數學裡面不用證明的只有公設 10/05 19:31
13F：推 annboy : 有些VS沒有countable basis 只有uncountable 10/05 20:47
14F：→ annboy : 這種相關的理論是functional analysis的範疇 10/05 20:48
15F：→ annboy : uncountable basis 的話G-S process也不太有意義 10/05 20:49
16F：推 arrenwu : 當你覺得Trivial的時候，不妨把證明寫寫看 10/05 21:02
17F：→ arrenwu : "Every vector space has a basis" 這個我一點也 10/05 21:02
18F：→ arrenwu : 不覺得很trivial 10/05 21:02
19F：推 Vulpix : minimal gen. set 跟 maximal l. indep. set 都是 10/05 23:48
20F：→ Vulpix : 絕對 non-trivial。 10/05 23:48
21F：推 qwop8765 : 你的方法是構造性 你覺得可行的話試試看證明 10/06 00:48
22F：→ qwop8765 : real value function space的basis存在 10/06 00:48