作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[线代] 为什麽一个 VS 必定存在 basis 要证明？
时间Tue Oct 5 15:27:08 2021
如题，我的构想是，先把 vector space 内的每个 vector 都纳入 generating set，
接着再从 generating set 之内每次排除掉一个可以表成 set 内其他 vector 的线性
组合的 vector，这样子逐步限缩，不就可以得到一个 linearly independent 的
generating set，也就是 basis 了吗？
那为什麽圣经本第 1.7 节还要特地讨论这件事情呢？
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1F：推 Vulpix : 除了finite dimensional vector space over finit 10/05 16:00
2F：→ Vulpix : e field，你的排除法在有限步骤内排不乾净。 10/05 16:00
3F：→ alan23273850: 所以如果不要求线性独立，只要证明 generating set 10/05 16:30
4F：→ alan23273850: 存在的话是可以的罗？ 10/05 16:30
5F：→ alan23273850: 我的意思是，每个 VS 都存在一个 generating subset 10/05 16:32
6F：→ alan23273850: 这件事情应该是 trivial 的，不用证明？ 10/05 16:32
7F：推 Vulpix : 对 VS 来说，自身是一个过於 trivial 的 gen. set。 10/05 19:17
8F：→ Vulpix : 虽然按定义还是得验证一下的。然後下一个还是很 10/05 19:17
9F：→ Vulpix : trivial 但又比较 non-trivial 的是 V-{0}。 10/05 19:19
10F：→ Vulpix : 我觉得都不算未证自明。 10/05 19:19
11F：推 arrenwu : "Trivial" 的意思是"证明简单"，不是不用证明 10/05 19:31
12F：→ arrenwu : 在数学里面不用证明的只有公设 10/05 19:31
13F：推 annboy : 有些VS没有countable basis 只有uncountable 10/05 20:47
14F：→ annboy : 这种相关的理论是functional analysis的范畴 10/05 20:48
15F：→ annboy : uncountable basis 的话G-S process也不太有意义 10/05 20:49
16F：推 arrenwu : 当你觉得Trivial的时候，不妨把证明写写看 10/05 21:02
17F：→ arrenwu : "Every vector space has a basis" 这个我一点也 10/05 21:02
18F：→ arrenwu : 不觉得很trivial 10/05 21:02
19F：推 Vulpix : minimal gen. set 跟 maximal l. indep. set 都是 10/05 23:48
20F：→ Vulpix : 绝对 non-trivial。 10/05 23:48
21F：推 qwop8765 : 你的方法是构造性 你觉得可行的话试试看证明 10/06 00:48
22F：→ qwop8765 : real value function space的basis存在 10/06 00:48