作者capcom (昂首闊步武陵人)
看板Math
標題[微積] 請教基本極限問題
時間Tue Sep 28 11:14:24 2021
向來都是以左、右極限相同做為極限存在之定義，
但是若只在單邊有定義的極限要如何定義？
例如f(x) = sqrt(x)在x=0之極限。
小弟查過微積分的書籍，似乎沒有看到相關的說法，
而問過一些友人的意見，得到的都是因左極限不存在，所以極限不存在。
小弟個人是覺得既然只有單邊定義，
那就自然只能看右極限，故其極限為0。
在此想請教各位先進的看法，謝謝！
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1F：推 StellaNe : ε-δ 定義 09/28 11:53
2F：→ judgment : 在既可考慮左極限又可考右極限的情況下(←這是前提 09/28 12:19
3F：→ judgment : ！)，普通極限存在<==>左丶右極限皆存在且兩者相等 09/28 12:19
4F：→ judgment : 。 若函數在某點只能考慮單邊極限，那普通極限就等 09/28 12:19
5F：→ judgment : 於它的單側極限。 09/28 12:19
6F：推 Vulpix : 首先你應該捨棄向來二字。 09/28 12:31
7F：→ judgment : reference可參考 Thomas' Calculus_Early Transcen 09/28 14:13
8F：→ judgment : dentals_14ed, p.84 (sec2.4 theorem6) 09/28 14:13
9F：→ mantour : 順便請教一下，如果一個函數的定義域就只有x=0這一 09/28 14:42
10F：→ mantour : 點，那此函數在x=0的極限是否存在，此函數是否連續 09/28 14:42
11F：→ mantour : ？ 09/28 14:42
12F：→ mantour : 又，如果函數的定義域是x<-1, x=0, 和x>1的聯集， 09/28 14:45
13F：→ mantour : 那在x=0的極限是否存在，在x=0是否連續。 09/28 14:45
14F：→ mantour : 直觀上感覺沒有斷點，而且如果定義域只有一個點， 09/28 14:49
15F：→ mantour : 寫成delta, epsilon的話，鄰域就是空集合，後面應 09/28 14:49
16F：→ mantour : 該不管什麼命題都成立，應該可以當作連續。 09/28 14:49
17F：→ mantour : 但是遇到第二種情況，又覺得好像應該是不連續 09/28 14:50
18F：→ judgment : 1.討論極限的前提在: x=c要是dom f的1個聚點(clust 09/28 15:14
19F：→ judgment : er point) ，否則的話討論起來並沒有意義(你可以說 09/28 15:14
20F：→ judgment : f在c的極限值是任何1個實數值都對)。 2. dom f 若 09/28 15:14
21F：→ judgment : 有孤立點(isolated point)，則f在其孤立點必連續 ( 09/28 15:14
22F：→ judgment : 由連續的 ε-δ 定義顯然易知)。 09/28 15:14
23F：→ mantour : 謝謝j大說明 09/29 06:47
24F：→ capcom : 感謝以上各位卓見！ 09/30 15:12