作者ThePeaceMan (TPM)
看板Math
標題[其他] 如何證明有無窮個質數mod 3=2?
時間Wed Sep 15 13:56:08 2021
由於小弟覺得孿生質數蠻有趣的，
所以最近試著構造孿生質數，
但不知道前面的證明是否正確，
而且卡在如何證明有無窮個質數mod 3=2，
所以想和各位討論看看。
假設p_n代表前n項質數的積除以3，n>=2,
if p_n(mod 3)=1
則 p_n + 1(mod 3)=2
p_n + 3(mod 3)=1
在p_n(mod 3)=1的前提下，
若要確認p_n + 1,p_n +3是否為質數，
必須看兩數mod前n項質數是否皆不為0。
因p_n mod 前n項質數=0(除了 mod 3),
故p_n + 1 mod 前n項質數=1(除了 mod 3),
且p_n + 3 mod 前n項質數=3(除了 mod 2,3),
又兩數mod 3皆非0，p_n + 3(mod 2)=1，
故知兩數皆為質數。
接著討論是否有無窮個p_n符合mod 3=1。
因為p_n(mod 3)=各因數mod 3的乘積，
所以可看成許多1,2的乘積mod 3，
其中只有2的數量會影響mod 3的結果，
奇數個2相乘會mod 3=2,
偶數個2相乘會mod 3=1,
所以只要有無窮個質數mod 3=2，
就有無窮個p_n符合mod 3=1。
但現在卡在如何證明有無窮個質數mod 3=2，
想請教各位有什麼想法嗎？
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2F：推 Vulpix : 你只看前n個質數不夠啊。2*5*7*11*13=10010，要檢查 09/15 14:41
3F：→ Vulpix : 的質因數還很多哩。 09/15 14:41
4F：→ ThePeaceMan : 感謝V大指出盲點 09/15 14:45
5F：→ Golven : 不知在哪看到的：孿生質數必為(6n-1,6n+1) 09/16 11:01
6F：→ ThePeaceMan : 回5樓 3,5似乎是反例? 09/16 11:27
7F：→ ThePeaceMan : 應該說大於3質數皆屬於6n-1,6n+1的形式，不限於孿 09/16 11:33
8F：→ ThePeaceMan : 生質數 09/16 11:33