作者museangel (敲敲)
看板Math
標題[線代] adjoint證明
時間Fri Sep 10 11:42:11 2021
https://i.imgur.com/Ju43Bfj.jpg
請問在證明中，為什麼要在g(x)之外再定義一個h(x)呢？
得出g=h又代表什麼呢？
我猜是證出「有存在於V的y，使得對於所有存在於V的x，g(x)=<x,y>皆成立」吧，
但為什麼呢？
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1F：推 Vulpix : h不是必要的，你可以把課本上的h去掉重新改寫看看。 09/10 12:05
2F：→ Vulpix : 看你覺得有h在會比較好整理(排版或脈絡兩者都可以考 09/10 12:06
3F：→ Vulpix : 慮看看)，或是h不在的情況比較方便。 09/10 12:07
4F：→ museangel : 我看莊重老師的課，是純用g(x)證出，還蠻直觀好理解 09/10 12:13
5F：→ museangel : 書上另設h(x)的證法就不懂了... 09/10 12:14
6F：推 arrenwu : 我看起來是因為他先強調 h 是個線性變換，然後引了 09/10 12:33
7F：→ arrenwu : Theorem 2.6 這個只有對線性變換成立的定理 09/10 12:33
請問我原本的猜測是不是錯誤的呢？
因為使所有在V的x滿足g(x)=<x,y>的y，在證明第2行就出現了，
即y=Σg(vi)vi 註：g(vi)上面的bar打不出來，
但這樣一來，g=h又是要證什麼？
是在說給定y，於V的任意x皆滿足<x,y>的函數，是唯一的嗎？沒有其他函數會符合？
如果是的話，這怎麼好像在定理的描述中沒有出現？
因為它是在說函數唯一，不是在說y唯一，
定理描述的「存在y」在第一、二行證出；「唯一的y」在倒數第一、二行證出，
好像該證的部分都證完了，不知道證存在唯一的函數是在證哪個部分？
※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 14:01:35
8F：推 arrenwu : 我們換個角度好了：如果是你，你會怎麼書寫這個 09/10 17:19
9F：→ arrenwu : Theorem 6.8 數學證明？ 09/10 17:20
10F：→ arrenwu : 說不定你寫出來，跟他的寫法一樣啊 09/10 17:20
書上的證明一開始就讓y =Σg￣(Vi)Vi (g￣(Vi)代表g(Vi)加bar)，
我覺得有兩種狀況：
1.作者覺得前面證明太簡單就忽略直接跳到這步驟？
前面被省略的步驟，如果我來證，就會是g(x)=g(ΣAiVi)=g(Σ<x,Vi>Vi)
=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>，令y=Σg￣(Vi)Vi，
證出確實有y可使所有x滿足g(x)=<x,y>，
也就是作者一開始出發的地方。
但從這角度來看，會讓我困惑作者後來另設h(x)=<x,y>，證出g=h，要做什麼？
怎麼不在證出y存在後，直接接著證y的唯一性就好呢？
2.作者直接用定理的結論？
作者直接把待證的g(x) =<x,y>搬來用，即假定有y滿足使所有x能讓g(x)=<x,y>成立，
所以g￣(x)=<y,x>，
y=ΣAiVi=Σ<y,Vi>Vi=Σg￣(Vi)Vi，即作者一開始出發的地方。
然後另外設h(x)=<x,y>，將y用Σg￣(Vi)Vi代換等等過程，最後得出g=h，
但證出g=h是在說明有y滿足使所有x能讓g(x)=<x,y>的假定成立嗎？
感覺又找不出兩者的關聯…
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如果是我來證明，會用1的方式(扣除另設h(x)一直到h=g的部分)，
應該跟書上的寫法不一樣，
所以想了解是不是我只證y存在跟y唯一會漏證什麼定理有描述到的東西，
就算沒有漏證，也會想知道作者寫的內容是什麼…
※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 19:17:06
11F：推 arrenwu : 你上面那個1.的寫法並不是一個證明過程吧 09/10 19:13
12F：→ arrenwu : 你第一步想做的證明是"令y=Σg￣(Vi)Vi, 對於任意在 09/10 19:15
13F：→ arrenwu : V裡面的向量x，g(x) = <x,y>" 09/10 19:17
14F：→ arrenwu : 現在你已經定義出一個y，接著就是證明"對於任意x， 09/10 19:18
15F：→ arrenwu : g(x) = <x,y> " 你打算怎麼說明呢？ 09/10 19:18
但我不懂怎麼知道要把y定義成這樣子？
因為感覺y=Σg￣(Vi)Vi不太直觀，應該是從什麼推出來再定義的？
是像前面說的2.用定理結論來直接定義的嗎？還是像1.省略了什麼步驟？
如果已定義y=Σg￣(Vi)Vi，我不需要去管y這定義怎麼來的話，
要我證明「對於任意x， g(x) = <x,y>」，則：
因已定義y=Σg￣(Vi)Vi，所以我的目標希望最後能得出g(x)=<x,Σg￣(Vi)Vi>
因x屬於V，用V的orthonormal basis來寫可寫成Σ<x,Vi>Vi，
所以g(x)=g(Σ<x,Vi>Vi)=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>=<x,y>
所以得證。
而且也依然沒有另外定義h，不知道h要做什麼...
※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 20:47:52
16F：推 arrenwu : 先定義y是因為你要證明存在一個y滿足需求 09/11 01:12
17F：→ arrenwu : 你的證明沒有問題。只不過我不太確定 x =Σ<x,Vi>Vi 09/11 01:14
18F：→ arrenwu : 在那本書裡面是不是一個定理 09/11 01:14
19F：→ arrenwu : 如果是的話可能要引。 09/11 01:15
20F：推 Vulpix : 就算要證也只是一行解決的東西吧，畢竟是basis。 09/11 04:01
21F：推 Vulpix : h的意義是名字。取名只是為了方便，這個證明很短而 09/11 04:33
22F：→ Vulpix : 且h出現的次數太少，加上h的定義式也太短，所以h的 09/11 04:34
23F：→ Vulpix : 必要程度很低。可是有些東西你不取個名字，寫起來會 09/11 04:35
24F：→ Vulpix : 相當瘋狂。另外一個用途就是整理版面，天書是書，不 09/11 04:36
25F：→ Vulpix : 像板書是一個字一個字寫出來可以讓你跟著老師的思緒 09/11 04:37
26F：→ Vulpix : 走。有些時候書上寫的東西看起來很跳躍，所以才定義 09/11 04:38
27F：→ Vulpix : 一個名字給他。 09/11 04:39
28F：推 eikcaj102 : 因為要證唯一 09/11 11:22
29F：推 Vulpix : 唯一性是挑x=y-y'用positivity證的。 09/11 12:14
重新整理一下我的想法，理解上還是有一些矛盾：
{{{定義一個h(x)=<x,y>，
h(x)一開始就長成<x,y>的樣子，不像g(x)是不是能寫成<x,y>都還不確定，
即g(x)可寫成<x,y>是待證的，
設y=Σg￣(Vi)Vi，
h(Vj)=<Vj,y>=<Vj,Σg￣(Vi)Vi>=Σg￣(Vi)<Vj,Vi>=g(Vj)
1<=j<=n，所以h=g，g(x)=h(x)=<x,y>，因此g可以寫成<x,y>的形式。}}}---@0式
原本我以為我只對h理解有困難，
但我發現理解有困難的部分不單純是在另設h，還包括y用了什麼來定義，
因為「設y=Σg￣(Vi)Vi」---@1式
跟「不知道g(x)是不是能寫成<x,y>」---@2式
@1式跟@2式之間好像概念上有衝突？
如果我沒理解錯的話，@1式會這麼定義，是因為認定g(x)本來就可以寫成<x,y>的形式，
即：透過基於這個認定的一連串推導，才定義出@1式
(推導內容：y在V中所以可用orthonomal basis寫成Σ<y,Vi>Vi，
而因認定g(x)=<x,y>，故g￣(x)=<y,x>，
因此y=Σg￣(Vi)Vi，即導出y的定義)
@1式的認定就跟@2式衝突，一個是可以寫成<x,y>形式，一個是不知能否寫成<x,y>形式，
這個衝突就造成既然@1知道y可以讓g(x)就寫成<x,y>的形式，
那把@1式跟@2式的概念通通塞進@0式，
「g(x)本來就可以寫成<x,y>，所以寫出設y=Σg￣(Vi)Vi的式子」
「h(x)一開始就長成<x,y>的樣子，不像g(x)是不是能寫成<x,y>都還不確定，
即g(x)可寫成<x,y>是待證的」
變成「把待證的概念當作已知事實，去證待證概念自己是對的」這種循環論證的狀況。
我不知道我是哪裡理解出錯了，變成把@1式跟@2式塞進@0式，會有這麼奇怪的問題。
※ 編輯: museangel (111.251.22.20 臺灣), 09/11/2021 12:20:35
30F：推 Vulpix : 「@1的『推導』不要寫出來！」你這段要寫的話，箭 09/11 12:42
31F：→ Vulpix : 頭都是反過來的。那就只是推@2的過程。打破循環的 09/11 12:42
32F：→ Vulpix : 方法之一就是封殺其中一個方向，單行道是不會循環 09/11 12:42
33F：→ Vulpix : 的。 09/11 12:42
34F：→ Vulpix : 最後，不要站內信，我不會回的。 09/11 12:42
好XD
謝謝V大跟a大，
V大說的封殺一個方向讓我獲益良多，
我有時候會在「定義看起來有點複雜，不那麼直觀，想更清楚看懂它在說什麼」的時候，
回頭推導它的起點，然後就跟結論撞在一起，
想說「繞了一圈，我的假設怎麼變成結論了」，那我證出什麼東西呀？
今天知道了，以後會避免這種情況XD
※ 編輯: museangel (111.251.22.20 臺灣), 09/11/2021 13:41:14